Модули над кольцом псевдорациональных чисел и факторно делимые группы

• Автор: Царев, Андрей Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 196 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Обозначения и некоторые определения
Глава 1. Модули над кольцом псевдорациональных чисел
§ 1. Кольца Дх и их основные свойства
§ 2. Модули над кольцом псевдорациональных чисел.
Основные понятия и определения
§ 3. Проективные и инъективные Д-модули
§ 4. Плоские и конечно представимые Я-модули
§ 5. Образующие Д-модули
§ 6. Связи Д-модулей и их колец эндоморфизмов
Глава 2. Конечно порожденные модули над кольцом
псевдорациональных чисел
§ 7. Обобщенная кохарактеристика Д-модуля
§ 8. Модуль псевдорациональных отношений
§9. Прямые суммы циклических Д-модулей
§ 10. Гомоморфизмы и квазигомоморфизмы конечно
порожденных Д-модулей
§ 11. Псевдогомоморфизмы конечно порожденных Д-модулей
§ 12. Двойственность плоских конечно порожденных Д-модулей
Оглавление
Глава 3. Факторно делимые группы
§ 13. Свойства и примеры факторно делимых групп
§ 14. Модуль псевдорациональных отношений факторно
делимой группы
§ 15. Прямые суммы факторно делимых групп ранга
§ 16. Гомоморфизмы факторно делимых групп
§ 17. Квазиизоморфность факторно делимых групп
§ 18. Категория %
§ 19. Группы с конечно порожденными модулями
псевдорациональных отношений
§ 20. Кослед кольца псевдорациональных чисел
Глава 4. Сервантные подкольца колец Ъх и их аддитивные
группы
§21. Кольца псевдоалгебраических чисел
§ 22. Кольца Ь(х)
§ 23. Минимальный многочлен элемента х
§ 24. Кольца Ь{х) с неприводимым минимальным многочленом
элемента х
§ 25. Кольца Ь(х) с нильпотентными элементами
бесконечного порядка
§ 26. р-локальные кольца Ь{х)
§ 27. Аддитивные группы колец Ь{х)
Список литературы
Предметный указатель
ВВЕДЕНИЕ
Начальный этап систематического изучения бесконечных абелевых групп пришелся на 20-30-е годы XX века и был связан главным образом с периодическими абелевыми группами. Уже к середине 30-х годов была получена полная классификация счетных примарных (а значит, и периодических) абелевых групп, основанная на результатах Прюфера [36], Ульма [38] и Цыпи-на [43]. Во второй половине 30-х годов были также заложены основы для изучения абелевых групп без кручения. Бэр [8] на языке типов дал характеризацию групп без кручения ранга 1, а А. Г. Курош [29], А. И. Мальцев [55] и Дерри [13] с помощью матриц с р-адическими элементами получили важное с теоретической точки зрения, но почти не имеющее хороших приложений описание групп без кручения конечного ранга. Очевидный на сегодня факт, что группы без кручения далеко не исчерпываются прямыми суммами и произведениями групп ранга 1, также можно считать одним из важнейших достижений начального этапа изучения абелевых групп.
Интерес к абелевым группам в 40-50-е годы был менее высок, чем в предыдущие и последующие десятилетия, однако именно в это время была осознана самобытность методов теории абелевых групп, что привело к ее выделению из общей теории групп в самостоятельное направление алгебры. Большая заслуга в этом принадлежит Л. Я. Куликову, особенно следует отметить его знаменитую работу «К теории абелевых групп произвольной мощности» [52].
В 60-70-е годы теория абелевых групп достигла пика своего развития. Особенно бурно в это время развивались два ее направления: примарные
§ 4. Плоские и конечно представимые Д-модули

1) каждый мономорфизм £: М —> В расщепляется, т. е. В = ш £ © А;
2) для любого мономорфизма модулей а: А —у В и любого гомоморфизма <р: А —^ М существует такой гомоморфизм ф: В М, что = фа;
Так как всякий делимый Д-модуль выделяется прямым слагаемым из любого модуля, содержащего его в качестве подмодуля (теорема 2.1), то все делимые Д-модули инъективны.
С. В. Чеглякова показала, что существуют также и редуцированные инъективные Д-модули (хотя их аддитивные группы всегда делимы). Более того, она получила их полное описание.
Теорема 3.6. [65] Редуцированный Я-модуль инъективен тогда и только тогда, когда он имеет вид П (А> © Ар), где Вр — векторное простран-

ство над полем Qp, а Ар — делимый периодический Ър-модуль. □
Следствие 3.7. Конечно порожденный Я-модуль инъективен тогда и только тогда, когда он делим. □
§ 4. Плоские и конечно представимые Д-модули
Определение 4.1. Левый А'-модуль М называется плоским, если он удовлетворяет следующим эквивалентным условиям:
1) каждый мономорфизм правых АТ-модулей а: А —> В индуцирует мономорфизм а ® гфц: А ®кМ —> В (Эк"М;
2) для любого конечно порожденного правого идеала I кольца К канонический эпиморфизм /3: —> 1М, задаваемый по закону /3(г<8>т) = гга,
является изоморфизмом;
3) модуль М является прямым пределом проективных Л-модулей.