Категория обобщенных модулей и спектр Циглера

• Автор: Гаркуша, Григорий Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 56 с.

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. Категории Гротендика как факторкатегории
(Я —mod, АЬ)
1. Предварительные сведения
1.1. Локализация, кручение, спектр Циглера
1.2. Локально когерентные категории
2. Категории Гротендика как факторкатегории
(Я —mod, АЬ)
ГЛАВА II. Двойственность для категорий
конечно представимых модулей
3. Абсолютно чистые и плоские модули
4. Почти регулярные кольца
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ
В настоящий момент в теории колец и модулей а также в теории абелевых категорий существует ряд фундаментальных понятий, берущих свое начало в теории моделей. Теория моделей модулей уже давно оформилась в самостоятельную дисциплину (подробное изложение этой теории содержится, например, в работах Циглера [25] и Преста [18]), и принесла с собой существенно новые понятия и постановки вопросов, касающиеся чисто алгебраических объектов. По этой причине, она обусловила ряд новых исследований, которые, с одной стороны, являются компиляцией теоретико-модельных конструкций на алгебраический язык, и, с другой стороны, полученные в них методы эвристически дополняют ранее известные алгебраические средства изучения категории модулей.
Оказалось, что основные теоретико-модельные концепции реализуются в категории rC = (mod—Д, Ab), состоящей из аддитивных кова-риантных функторов F : mod—Д —> Ab из категории mod—В конечно представимых правых Д-модулей над ассоциативным кольцом с единицей Д в категорию абелевых групп АЬ, и чьи морфизмы — естественные преобразования функторов (см. [14]). Категория rC называется категорией обобщенных левых R-модулей, ввиду вполне унивалент-ного, точного справа функтора rM —» — ®r М из категории левых Д-модулей Д—Mod в rC.

Отметим отдельно, что категория обобщенных модулей занимает особое место в современной теории представлений артиновых алгебр (относительно этого вопроса см. подробный обзор Ауслэндера [6], а также недавно вышедшую работу Краузе [17]).
Одним из фундаментальных теоретико-модельных понятий является спектр Циглера кольца, построенный Циглером [25] в 1984 году. Алгебраическое же определение спектра Циглера кольца было предложено Херцогом [12]. Оно состоит в следующем.
Пусть fp д С — полная подкатегория конечно представимых объектов дС. Согласно [5, Theorem 1.6], категория fp rC абелева, или эквивалентно: каждый конечно представимый объект В Е rC когерентен, то есть В — конечно представимый объект и каждый конечно порожденный подобъект объекта В также конечно представим, так что подкатегории fp rC конечно представимых объектов и когерентных объектов coh д С совпадают.
Циглер сопоставил каждому кольцу R топологическое пространство, состоящее из классов изоморфности неразложимых чисто-инъективных левых /-модулей rQ. Это пространство гомеоморфно, посредством функтора rQ —> — <8>д Q (который отождествляет чисто-инъективные левые Д-модули и инъективные объекты категории rC), топологическому пространству Zg дС, состоящему из классов изоморфности неразложимых инъективных объектов категории дС, и базис

(2) Прямой предел Иц| М фр-инъективных (соответственно, фр-плоских) модулей М{ — фр-инъективный (соответственно, /р-плоский) модуль.
Доказательство. (1). Ввиду [23, 1.13.2] имеется изоморфизм ПД- С я мг) я — £Эд (П/М() в КС. Поэтому, если Б — локализующая в цС подкатегория, то
**(- (Пмг)) «*.(П(- Щ) ~ П*Л- М*)-
II I
Теперь наше утверждение следует из предложения 3.1.
(2) Поскольку 1ш(— ®д Мг) я — (ИгМг), а функторы кручения
и коммутируют с прямыми пределами, то утверждение следует
из предложения 3.1. □
Следующая теорема расширяет список свойств, характеризующих
когерентные кольца (см. также [22, 2]).
Теорема 3.3. Для кольца И следующие условия эквивалентны:
(1) Я когерентно справа;
(2) В цС существует такая локализующая подкатегория И, относительно которой всякий левый Я-модулъ М плосок тогда и только тогда, когда функтор — Сд М без Я-кручения;
(3) каждый правый фр-инъективный Я-модулъ абсолютно чист;
(4) каждый левый фр-плоский Я-модулъ плосок;