Метод сечений в теории инвариантов

• Автор: Кацыло, Павел Иванович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 58 c. : ил

Важными задачами в теории инвариантов являются вопрос о существовании геометрического фактора и проблема рациональности. Поясним подробно, что понимается под этими словами.

В диссертации основным полем считается поле комплексных чисел.

ВОПРОС О СУЩЕСТВОВАНИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ФАКТОРА.

Определение / см. /. Пусть линейная алгебраическая группа

О- действует на неприводимом алгебраическом многообразии X » причем сЬСМф-■ ос) = сСьтдс) для всех СС,ос'& X • Геометрическим фактором действия (9-Х называется такая структура алгебраического многообразия на множестве х/ 1. Канонически возникающее отображение множеств 5С : X —у является морфизмом алгебраических многообразий.
2. Для любой рациональной О- -инвариантной функции Р на алгебраическом многообразии X » определенной в точке ОС , существует такая рациональная функция на алгебраическом многообразии

Х/д , определенная в точке ос) , что Р.

Замечание о терминологии. Слова "геометрический фактор х/&" означают "множество орбит Х/в- со структурой алгебраического многообразия, которая является геометрическим фактором". Подмногообразием мы будем называть локально замкнутое подмножество в алгебраическом многообразии. Будем говорить, что два гладких подмногообразия X и у гладкого алгебраического многообразия 2 пересекаются в точке 12 бХпУ трансвеосально, если касательное пространство в точке 12 алгебраического многообразия 2Г есть прямая сумма касательных пространств подмногообразий X и V в точке
Приведем пример, когда у действия алгебраической группы (9 на неприводимом алгебраическом многообразии отсутствует геометричес-

кий фактор.
Пусть - неприводимое И, -мерное линейное представление группы
X = V | з},
SLZ'ЭC Э oJ.
Мы утверждаем, что при не существует геометрического фактора . Допустим, что это не так и геометрический фактор
х/эщ существует. Положим
5С : X Х/э!^ ,
х I »
Возьмём ХбХ0 и определённую в $£(эс) непостоянную на рациональную функцию £ £ ТогДа е £(Х)^2 определена в точке ОС , причём, ^^|х0=^СОМуЬ • Согласно ,
существуют такие, что Можно
считать, что и не содержат общего непостоянного множителя и, значит, ^г(х)^г 0 • Но соиЛ^ / см. [в] / и, значит,
У?1х.*«г*6 . Противоречие.
При исследовании вопроса о существовании геометрического фактора естественным образом возникает понятие пласта.
Определение. Пусть £:Х - действие линейной алгебраической группы на неприводимом алгебраическом многообразии X • Для к= 0, 1,2,3,... положим
ХС X | сЬаЛ(0- -ОС)
Подмножество Х^является подмногообразием В X » его неприводимые компоненты называют пластами.

Основной результат главы I диссертации относится к геометрии пластов присоединённого представления связной редуктивной алгебраической группы. В частности, мы доказываем, что у этих пластов существует геометрический фактор. Перед тем как сформулировать основную теорему, введём некоторые обозначения и напомним некоторые известные результаты.
Фиксируем связную редуктивную алгебраическую группу 0 . Пусть СЦ. - алгебра Ли группы - О- —у (($■) - присоединённое представление, К - максимум размерностей О- -орбит в (£. Пласт называется регулярным пластом. Описание регулярного
пласта было получено Б.Костантом в |^21][ . Оно состоит в
следующем.
ТЕОРЕМА Б. КОСТ АНТ А. Существует -тройка (ос0,$ 0,^о) такая, что ХВ6 С$ • Пусть /, - централизатор элемента в алгебре Ли 0^. . Тогда
1. <&£,°= (/№£)•<£с.+Щ.
2. Каждая б- -орбита из пересекает Х.е+Ь ровно в одной точке и пересечение происходит трансверсально.
3. Биекция
°%С Уас{9 * *
определяет на множестве орбит В работах Л.Диксмье, В.Боро, X.Крафта и других было продолжено изучение пластов. В частности, в [|BJ было доказано, что любой пласт в 0^ содержит ровно одну орбиту, состоящую из нильпотентных элементов. В было доказано, что для любого
пласта 2>с0| существует параболическая подалгебра и разрешимый идеал такие, что Щ“п 5 открыто и непусто и

из определений. Так как К Д 'Я'Г'-Сс^'гг)' у'Тр, С*Чн2)= = 'Т , то 1^-Х =Х • Из (г.С) и леммы 2.2 следует, ЧТО X является единственной неприводимой компонентой подмногообразия 'У образ которой при проекции
РЬгХ—* I
густ в 1_> . Так как для ч 6 Аимеем:
(С*21гг)=Х'1(9-|С*2.й)=Ти РС?'Х)=^'Р(х)= Ь ’ то |-Х
= X • Последнее утверждение леммы следует из (2.1) и леммы 2.2.
Из лемм 2.3 и 2.4 следует, что X является ф1.г*И,Ы(Г)к1 -сечением многообразия V и
Таким образом, для доказательства теоремы 1.1 мы должны доказать, что поле
С(Д)М(т>Е
рационально.
Для всех весов 'У1 представления тора Т Б ь имеем: г-Т. где т е , 'У. - некоторый фиксированный вес представления тора Т В пространстве Ь . Пусть -[ 11^ , . -6Ц , | 6 = 1,
. ",И; 5 - 1, - - •> - такие линейные. функции на пространстве

1. £ ■ = Ы.с-, Ь-ЧУ £ • 1Г(] ~ ?((±У 2^7 Для всех
^Т7.
2. £ • и4- = (У)ИС) Ь‘1У~ %•$)&, Ь-чУц =Хо-(£)% Для всех
~Ь е £ / здесь Л ’ 7^0' - некоторые характеры тора К /.
3. ЭДи.;] ,ог, и гт7гГ^]7йГ-гГ6^] , где
*4-1 о)£Л/СГ}
является базисом пространства линейных функций на L
Так как с(От= <сК. • • •> *(ьг-1г), чг^-г