К теории сечений в упорядоченных полях

• Автор: Галанова, Наталия Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 82 с.

Содержание
Введение
Список обозначений
Глава I. Сечения в полях формальных степенных рядов.
1. Основные понятия теории сечений
2. Симметричность и фундаментальность сечений поля
Щ[С,Р}]
Глава II. Конфинальность и симметричность сечений упорядоченных полей.
1. Конфинальность сечения
2. Конструкция поля
Глава III. Следствия для *Я.
1. О нестандартной вещественной прямой
2. Изоморфизм нестандартной вещественной прямой и поля ограниченных формальных степенных рядов
Перечень доказанных результатов
Литература
Работы автора по теме диссертации
Предметный указатель

Введение
В диссертации проводится исследование линейно упорядоченных неархимедовых полей с помощью теории сечений.
Под теорией сечений мы подразумеваем классификацию сечений в линейно упорядоченном поле, теоремы о сечениях различного вида, наконец, теоремы о связи строения сечений в линейно упорядоченном поле со свойствами этого поля.
Исследование строения сечений в линейно упорядоченных ПОЛЯХ является плодотворным методом изучения и классификации упорядоченных полей. Так, упорядоченное поле вещественно замкнуто в точности тогда, когда все сечения в нем трансцендентны [5]; топологически замкнуто, если и только если все сечения в нем фундаментальны (дедекиндовы)[23]; архимедовски замкнуто, если и только если все сечения в нем несимметричны [18].
Изучение симметричных сечений представляет особый интерес, так как симметрия сечений существенно используется при доказа-тельтве изоморфизма вещественно замкнутых упорядоченных полей (теорема об изоморфизме [8],Пестов Г.Г.,1997).
Основная цель данной работы - получить необходимые и достаточные условия симметричности сечений и фундаментальности симметричных сечений в полях ограниченных формальных степенных рядов, а также перенести полученные результаты для формальных степенных рядов на другие классы полей.

Формальные степенные ряды являются эффективным инструментом исследования упорядоченных полей, поскольку каждое упорядоченное поле вкладывается с сохранением порядка в некоторое поле формальных степенных рядов [27].
В диссертации изучение строения симметричных сечений позволило доказать изоморфизм поля нестандартных вещественных чисел и некоторого поля ограниченных формальных степенных рядов. Как следствие, получены новые результаты о строении сечений поля нестандартных вещественных чисел и о его подполях, полных по Деде-кинду.
Понятие сечения впервые появилось в работах Дедекинда, рассматривавшего сечения в поле рациональных чисел.
Следуя Дедекинду [20], сечением {А, В) упорядоченного поля Д1 будем называть разбиение этого поля на подмножества А и В, удовлетворяющие следующим условиям:

2. V х Е А/ у € В(х < у)
После работ Дедекинда теория сечений получила существенное развитие. Созданы различные классификации сечений. Алгебраические и трансцендентные сечения рассматриваются в работах [6],[9],[5]. В [5],[7] вводятся и изучаются симметричные и несимметричные сечения.
В диссертации ключевыми понятиями являются: симметричное,

Замечание
Определение 7—насыщенности мы используем в следующей форме.
Множество М называется 7- насыщенным, если пересечение любого центрированного семейства X подмножеств М, такого что сагс1(ЛГ) строго меньше 7, не пусто. [21]
Теорема 1.2.3(ОКГ)
Пусть й есть линейно упорядоченная абелеве группа.
(a)Пустъсэ1й(С) = сДС) = 7. Тогда мощность множества всех фундаментальных симметричных сечений Д[[С?,7]] равна 27 ,
(b)ПустъсехА{С1) = со1{д € в д > 1} = 7. Тогда мощность множества всех нефундаментальных симметричных сечений Д[[б, 7]] равна 2Т.
Доказательство.
(а) Из Теоремы 1.1.4 следует, что
27 = сагД(Д[[С]]) > сагс!(Д[[(?, 7]]) = 7,
а значит
Д[[С]]Д[[(?,7]]0, и по Теореме 1. 2. 1 в поле Д[[<3, 7]] есть симметричные сечения.
По Теореме 1.2.2 сечение (А, В) симметрично и фундаментально в Д[[0,7]] тогда и только тогда, когда
Э*о € Д[[С]]Д[[(?,7]], А < х0 < В,