Гурвицевость и (2,3)-порожденность матричных групп малых рангов

• Автор: Всемирнов, Максим Александрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 230 с. : ил.

Оглавление
Общая характеристика работы
1 Введение.
1.1 Основные определения и обозначения
1.2 Исторический обзор
1.3 Формула Скотта и линейная жесткость
2 (2,3)-порождение групп и СЬб(2).
2.1 Формулировка результата и исключение лишних наборов
2.2 Первый набор образующих
2.3 Второй набор образующих
2.4 Третий набор образующих
3 (2,3)-порождение группы ЗЬб(2).
3.1 Допустимые образующие
3.2 (2,3)-порождение группы ЭЬб(й)
4 (2,3)-порождение групп ЭЬ/Дй) и 0Ьп(2): общий случай.
4.1 Основной результат и схема доказательства
4.2 Группа ОЬб(Х)
4.3 Группы СІгДХ), 31^(2)
5 (2,3, &)-порожденные унитарные группы.

5.1 Группы Т(2. 3,к) и унитарные группы
5.2 Случай к = 7, 9,
5.3 Случай к > 7, к ф 9. I
6 (2,3,7)-порожденные подгруппы РСЬ7(Р).
6.1 Инварианты подобия (2, 3, 7)-троек в РСГ^К)
6.2 Гурвицевы подгруппы в РСЬг^), удовлетворяющие условию
жесткости
6.3 Параметризация неприводимых; (2,3, 7)-троек, не удовлетворяющих условию жесткости
6.4 Группы Сг(р) как факторгруппы (2, 3,7; 2р)
Приложение
Литература

Общая характеристика работы
Актуальность темы. Диссертационная работа относится к исследованиям по теории (2,3)-порожденных и гурвицевых групп. Эта область теории групп зародилась еще в XIX веке в работах Ф. Клейна [56], Р. Фрике [41], [42], А. Гурвица [48] и сохранила свою актуальность до настоящего времени.
Интерес к (2,3)-порожденным группам объясняется их связью с факторгруппами модулярной группы РЭЬДЖ). А именно, согласно классическому результату Ф. Клейна и Р. Фрике [42], эпиморфные образы модулярной группы, за исключением трех циклических 1ц, Zз, — это в точности (2,3)-порожденные группы.
Гурвицевы (или конечные (2,3, 7)-порожденные) группы образуют весьма важный подкласс (2, 3)-порожденных групп. В 1893 г. А. Гурвиц доказал [48], что для группы автоморфизмов компактной римановой поверхности 71 рода д > 2 справедливо неравенство Аи,Ь('71) < 84((/ — 1) и что гувицевы группы — это в точности те группы автоморфизмов, для которых достигается равенство.
Таким образом, исследования алгебраических свойств гурвицевых и (2,3)-порожденных групп могут иметь интересные приложения не только в самой теории групп, но и в различных областях, так или иначе связанных с модулярной группой: в теории чисел, анализе, теории римановых поверхностей.
В ряду групп Рмодулярная группа РЭЬг^) занимает особое положение. Если структура нормальных подгрупп РЗЬп(^) при п > 3 довольно

условие того, что группа {ж, у) не совпадает с ЗЬП(Ж) или СЬ„(Ж).
Лемма 2.2. Пусть х,у € СЬП(Ж), п > 3, х2 = у3 — I. Предположим, что нашлись множество УУ С Ж" и вект,ор и (Е М" УУ, такие, что
(I) жуУУ С УУ, жу2УУ С УУ ;
(II) жуй € УУ, жу2« € УУ.
Тогда (ж, у) сс РЭИ^Ж). В частности, (ж, у) ф ОЬ„(Ж), (ж, у) ф ЗЬ„(Ж).
Доказательство. Поскольку РЗЬг(Ж) ~ Жг * Жз, достаточно показать, что группа (ж, у) есть свободное произведение циклических групп порядка 2 и 3. Иными словами, надо показать, что между матрицами ж и у нет других (нетривиальных) соотношений кроме ж2 = у3 = /.
Пусть у — приведенное слово в алфавите ж, у, такое, что у — I. Приведенность означает, что у не содержит цепочек жж и ууу.
Из условий леммы следует, ЧТО Ж ф / и у ф I. Значит, если у не пусто, то оно содержит как ж, так и у. Заменяя, если необходимо, у на сопряженное, мы можем предполагать, не умаляя общности, что слово у циклически приведено, то есть у начинается на ж и заканчивается на у или у2 либо у начинается на у или у2 и заканчивается на ж. Вновь заменяя на сопряженное, если необходимо, можно предполагать, что реализуется первая альтернатива, а именно

у = Дж уЕ

где е; 6 {1, 2}. Из условий леммы следует, что если т > 0, то ди £ УУ, а значит, дифии д ф I. Это доказывает отсутствие нетривиальных соотношений между х п у.
Заметим, что группа вЬ^Ж) содержит элемент порядка п + 1 при четном п и элемент порядка п при нечетном п, что доказывает заключительное утверждение о несовпадении групп. □