Производные группы Пикара алгебр, соответствующих деревьям Брауэра

• Автор: Звонарёва, Александра Олеговна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 107 с. : ил.

Содержание
Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Производные эквивалентности

1.2 Мутации

2 Производная группа Пикара

2.1 Мутации и производная группа Пикара

2.2 Стандартная конструкция дерева

2.3 Основной результат

2.4 Мутации типа I

2.5 Мутации типа II
2.6 Случай 4=
2.7 Дополнение
3 Двучленные наклоняющие комплексы над алгебрами, соответствующими деревьям Брауэра
3.1 Двучленные наклоняющие комплексы над самоинъективны-
ми алгебрами
3.2 Двучленные неразложимые частично наклоняющие ком-
плексы над алгебрами, соответствующими деревьям Брауэра
с кратностью исключительной вершины
3.3 Двучленные наклоняющие комплексы над алгебрами, соот-
ветствующими деревьям Брауэра с кратностью исключительной вершины
3.4 Кольца эндоморфизмов

3.5 Двучленные наклоняющие комплексы над алгеброй, соответствующей звезде Брауэра
3.6 Геометрическая интерпретация
Список литературы

Введение
Данная работа посвящена изучению эквивалентностей производных категорий алгебр, соответствующих деревьям Брауэра. В частности, изучению производной группы Пикара ТгРю(Л) алгебры Л, то есть группы классов изоморфизмов двусторонних наклоняющих комплексов в Оь(А 0 Аор), где произведение классов X и У - это класс X (Эл У, или, что то же самое, группы стандартных автоэквивалентностей ИЬ(Л) по модулю естественных изоморфизмов (глава 2), и изучению двучленных наклоняющих комплексов над алгеброй А - класса наклоняющих комплексов очень интересного с точки зрения комбинаторики (глава 3).
Производная категория была определена Вердье в 1963 году [32], с тех пор она стала неотъемлемой частью изучения теории представлений алгебр. Кратко напомним, что такое ограниченная производная категория И6(Л) алгебры А: пусть А - алгебра над коммутативным кольцом Я, под Л-модулями мы имеем в виду левые Л-модули. Пусть М = (М (1г : М1 —>■ Мг+1) - комплекс Л-модулей, для целого числа п обозначим через М[п} комплекс для которого М[п]г = Мп+г с дифференциалом (—1 )7!с?. Объекты категории ИЙ(Л) - это ограниченные комплексы Л-модулей. Два комплекса изоморфны, если существует гомоморфизм комплексов, индуцирующий изоморфизм гомологий. Категория Л-Моб вкладывается в ЯЬ(А) как подкатегория комплексов, сосредоточенных в 0. Подробности о производных категориях и других триангулированных категориях можно найти в [15], [25] [32].
Основным способом построения эквивалентностей производных категорий является знаменитая теорема Рикарда и Келлера, она дает необходимое и достаточное условие производной эквивалентности [28], [27], [19].

dimKHom(Tr, 27 Д = 1)

■Р

J 1 ^0r(j) 1
где 5oc - морфизм, образ которого равен цоколю Р3~у. а а = j — 1 — Поэтому т;+1 ~ (Р3 А Р,-! ^ Pj— 2^г0Ь1), где Р^гЫ_! сосредоточен в той же степени, что и в Тг. Если ребро І — 1 инцидент-
0, и Tr+1 ~ (Pj Л
но корню, то Р,
г*гО)-і

Р^_1). Применим
часть последовательности ДИг+1)5 которая содержит мутации с индексами большими ] и с индексом .7 — 1. Для соответствующего г' получаем,
что Тг' ~ ф^Т, ® (Р, Л Ру—і ^ Ру-1 р
р-1 0Ï=J + 1 Рг-
Применим fi;j : 2J+1 - это конус следующего морфизма, сдвинутый на —1,
а0гО)-

тФгО)-
D < D ‘-M-l M-l'

хФгЬ)-
т'+1 ^ CD А Р . ifî£v ,ia+f>
где Ь = хфг(7)_1 - хфг^2- По лемме 4 Г|+1 ~ (Р, -»• Р.,_
Раг<>гц)_а)і ГДе РхФт(])-2 сосредоточен в той же степени, что и в ТЕ Применяя лемму 4 нужное количество раз, получаем Т3 — (Р3 А Р3- > Р-і)і
где Р3 сосредоточен в степени —2 (здесь и далее через Т будем обозначать комплекс Д-(г+1) о о ДГ(П), через Т3 будем обозначать его слагаемое, соответствующее ребру с индексом І).
Применяя оставшиеся мутации из последовательности Д
-(г+1)
, получа-□
ем, что Тг — Рг для г < ^ — 1, а значит {^) (А).
3) пусть х - корень, j = 1.
Пусть I - ребро, следующее за ребром j в циклическом порядке ребер вокруг некорневого конца ребра j в Гг.