Сумма характеров Гекке по последовательности сдвинутых простых чисел

• Автор: Панов, Вячеслав Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 64 с.

Оглавление
Обозначения
Введение

1 Арифметические функции в полях алгебраических чисел

1.1 Арифметические функции для алгебраических чисел и идеалов

1.2 Теоретико-функциональные преобразования в числовом поле

1.3 Варианты метода И.М.Виноградова в числовом поле

2 Суммы характеров в числовых полях

2.1 Сумма значений “сдвинутых” характеров Гекке

2.2 Сумма значений “сдвинутых” квадратичных символов Якоби

2.3 Сумма значений “сдвинутых” степенных вычетов Лежандра

Литература

Обозначения
К/{| - конечное алгебраическое расширение поля рациональных чисел Ък ~ кольцо всех целых алгебраических чисел поля К
Ъук - группа единиц (обратимых элементов) кольца Ък
о, Ь
Ък/ъ ~ факторкольцо кольца Ък по идеалу а
(.Ък/а)х - группа единиц кольца Ък/а
тц - число делителей для Ък
Ці - функция Мёбиуса для Ък
VI ~ функция Эйлера для Ък
Лд - функция Мангольдта для Ък
Фг ~ функция Чебышёва для Ък
Х[ - характер Гекке (ЪкПГ -> с
У - непостоянное вполне мультипликативное отображение
(§)г ~ квадратичный характер Якоби
(д) ~ символ степенного вычета Лежандра
1о§х - натуральный логарифм х

Введение
Многие проблемы аналитической теории чисел тесно связаны с распределением значений характеров Дирихле в последовательностях, имеющих определённую природу. В частности, при решении ряда задач возникает вопрос о распределении значений неглавного характера на последовательности сдвинутых простых чисел.
В 1937 г. И.М. Виноградов [1-16] создал метод оценок сумм с простыми числами, суть которого заключается в следующем. Суммы по простым числам могут быть составлены путем только сложений и вычитаний из сравнительно небольшого числа других сумм, хорошие оценки которых могут быть получены с помощью соображений метода оценок двойных сумм и средств не имеющих какого либо отношения к теории дзета-функций Римана или L-рядов Дирихле.
В частности И.М. Виноградов [1-3] полностью исследовал задачу о распределении значений неглавного характера на последовательности сдвинутых простых чисел в принципиальном случае, когда модуль характера является простым числом и получил оценку для суммы
Т(х) = 2x[p + k),

где х-характер по модулю q, (k,q) = 1, q— простое число, х > qi+E.
Из этой оценки, в частности, следует, что среди чисел вида р + к, р < х, {к, q) — 1 количества квадратичных вычетов и невычетов асимптотически равны, если только х > ql+e. В 1953 г. И.М. Виноградов [12] получил нетривиальную оценку Т(х) при х > q°’75+c. Этот результат был неожиданным. Дело в том, что Т(х) можно записать в виде суммы по нулям соответствующей L-функции Дирихле; тогда в предположении справедливости расширенной гипотезы Римана для Т(х) получится нетривиальная оценка, но только [17] при х > ql+E.
В 1968 г. A.A. Карацуба [18] нашел метод, который позволил ему получить нетривиальную оценку коротких сумм характеров в конечных полях фиксированной степени. В работе [19] он с помощью развития этого метода, в соединении с методом И.М. Виноградова, получил новую оценку Т(х), нетривиальную уже при х > д°’5+г и подобных им сумм [20-36]. Эти оценки он [37] применил для нахождения асимптотической формулы для количества чисел вида р(р' + а) в арифметической прогрессии, разность которой является простым числом, а начальный член взаимно прост с разностью.
З.Х. Рахмонов [38-42] получил оценку сверху суммы Т(х), когда модуль характера - произвольное натуральное число и, используя эту оценку в соединение с плотност-ными теоремами для L -функций Дирихле, изучил распределение гольдбаховых чисел в “коротких” арифметических прогрессиях. (Гольдбаховым числом называется число, представимое суммой двух нечётных простых чисел.)

Эрих Гекке дал явное определение характеров для чисел и для идеалов, называемых в настоящее время его именем. В этих определениях используется система основных единиц числового поля, а также введено в рассмотрение целое число, называемое весом характера Гекке, с несколькими добавочными условиями. Например, для СМ-полей (полей с комплексным умножением - комплексных квадратичных расширений тотально вещественных полей, порождённых квадратным корнем из тотально отрицательного алгебраического элемента, к которым принадлежат мнимые квадратичные и круговые поля) должны выполняться аксиомы:
(4) существует такой элемент в = ХесаЦАуо) 7г(°')СГ целочисленного группового кольца Z[Gal(iT/Q)], что для всех а = 1 (mod f) верно равенство Xi(a) = оР (символическая степень Гильберта);
(5) существует целое число (вес) т € Ъ, для которого имеет место равенство (1 + j)0 = т Xj Известно, что для характера Гекке Х[ всса т 11 целых чисел а € Ък, взаимно простых с модулем f характера, абсолютная величина его значения равна |Х)(а)1 = |iV/f/nj(o:)|“, поэтому далее в работе используется нормированный характер веса 0, то есть |X[(-)| = 1.
Будем использовать следующее
Определение. Целый идеал m кольца целых Ък назовем примитивным, если абелева группа Ък/т циклическая.
Например, простой идеал первой степени является примитивным, но примитивные идеалы не обязательно простые. Имеется взаимно-однозначное соответствие между всеми делителями данного примитивного идеала ш и подгруппами в факторгруппе Ък/т. Следовательно, все делители примитивного идеала m будут примитивными идеалами.
Из этого определения следует, что каждое целое алгебраическое число а 6 Ък сравнимо с некоторым целым рациональным числом za £ Ъ по модулю примитивного идеала т, причём можно указать несколько правил выбора соответствия между простым д € Ък с данной нормой и целым рациональным числом, например, существует бесконечно много простых рациональных чисел р = ze (mod Nm) для фиксированного простого алгебраического числа д g Ък
Для получения нетривиальной оценки суммы 5я,х замечаем, что если сумма берётся по множеству алгебраических чисел, нормы которых пробегают натуральные значения без пропусков, то такая сумма характеров оценивается как линейная сплошная тригонометрическая сумма оценкой Виноградова - Пойа. Если норменное множество не является сплошным отрезком натуральных чисел, то для таких неполных сумм существуют нетривиальные оценки11, которые слабее оценок сплошных сумм.
Чтобы указать, какому случаю принадлежат оцениваемые суммы, введем следующее:
HS.D. Cohen, H. Niedereiter, I.E. Shparlinski, M. Zieve, Incomplete character sums and a special class of permutations, Jour, de théorie des nombres de Bordeaux, 13, no. 1 (2001), p. 53-G3.