Конструктивные отрицания и паранепротиворечивость

• Автор: Одинцов, Сергей Павлович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 290 с. : ил.

1 Введение

1 Reductio ad absurdum

2 Минимальная логика. Синтаксис и семантика

3 Логика классической опровержимости

3.1 Свойство максимальности логики Le

3.2 Изоморфы логики Le

4 Класс расширений минимальной логики

4.1 Расширения логики Le'

4.1.1 Интуиционистские и негативные напарники расширений логики Le'

4.2 Интуиционистские и негативные напарники расширений минимальной логики

4.2.1 Негативные напарники как логики противоречий

4.3 Три размерности класса Par
5 Адекватная алгебраическая семантика для расширений
минимальной логики
5.1 Логика Гливенко
5.2 Представление ^'-алгебр

5.3 Логики Сегерберга и их семантика
5.4 Семантика Крипке для паранепротиворечивых расширений логики 1^
6 Негативно эквивалентные логики
6.1 Определения и простейшие свойства
6.2 Логики, негативно эквивалентные промежуточным
6.3 Классы негативной эквивалентности
6.4 Структура Л1П+ с точностью до негативной эквивалентности
7 Абсурдность как унарный оператор
7.1 Введение
7.2 Ве и модальная логика Лукасевича
7.3 Парадокс минимальной логики и обобщенная абсурдность
7.4 А- и С-представления
7.4.1 Определения и первые результаты
7.4.2 Логика СВиИ
7.4.3 Логика Сета Р1
II Сильное отрицание
8 Различные виды семантики для паранепротиворечивой логики Нельсона
8.1 Логики N4 и и их простейшие свойства
8.2 Семантика Фиделя
8.3 Твист-структуры
8.3.1 Вложение логики N3 в N4
8.4 ^-Решетки
8.5 Многообразие N4-peшeтoк

8.6 Логика N41 и N41-peineTKH
9 N41-PeineTKH
9.1 Структура N41-peineTOK
9.2 Гомоморфизмы и подпрямо неразложимые N41-penieTKH
10 Класс расширений логики N41
10.1 Ш41 и lnt+
10.2 Структура решетки 5N41
10.3 Избыточные и нормальные напарники
10.4 Структура решеток £N4C и 5N4XC
10.5 Теоремы переноса для класса К41-расширений
2. Этот пункт можно доказать точно так же, как и предыдущий, ис-^ пользуя лемму 3.2.2 вместо леммы 3.2.1. Но его можно свести и к следующему пункту. Действительно, в Ье верна эквивалентность —к/р *-> V _1_, откуда
Ье I- —1——► <р 4Ф Ье I- (<р V ±) —> <р 4Ф Ье I- _1_ ->(/?.
3. Пусть Ье Н X —♦ (р. Тогда Ьтп I- X —► <р, поскольку Ьтп расширяет Ье. Так как _1_ е Ьтп, мы немедленно получаем Ьтп Ь <р.
Чтобы доказать обратную импликацию, рассмотрим формулу <р такую, что Ье ф _1_ —> <р, и ^-оценку V такую, что
—► <р) = у(±. —► (<р Л _!)) ф 1.
Последнее означает, что н(<р Л _|_) = -1. Пусть — р(рь ..., рп). Воспользовавшись тем, что т(ж) = хЛ1 - эпиморфизм (см. лемму 3.2.3), получаем
у(<р(ри • • • ,Рп) л 1) = п(<р(р! Л 1,... ,рп Л 1)).
Рассмотрим 2г-оценку щ такую, что иДрх) = г;(р Л _1_) нх(рл) = у(рп Л Ь). Тогда щ(<р) = г(<р Л 1) = —1, что опровергает выводимость ф Ьтп I- (р. □