Обобщенно стабильные теории

• Автор: Русалеев, Михаил Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 56 с.

Оглавление
Введение
1 Обобщенная стабильность
1.1 Определения, обозначения
1.2 Стабильные теории
1.3 Р-стабилыюсть
2 (Р,1)-стабильность
2.1 Определения
2.2 Характеризация (Р, 1) -стабильности
3 (Р,а)-стабильность
3.1 Признак не (Р, а) стабильности
3.2 (Р,а)-стабилыюсть абелевых групп без кручения

Введение
Теория моделей как раздел математики находится на стыке математической логики и алгебры и сформировалась как самостоятельная область в 1950-х годах. Одним из объектов изучения этого раздела математики является классификация элементарных теорий. Одним из способов получения этой классификации является классификация по количеству типов в этих теориях (то есть совместных с теорией множеств формул со свободными переменными и с фиксированным множеством параметров, являющихся элементами модели данной теории). Исследования в этом направлении начались с работ Р. Вота [1], К. Рыль-Нардзевского [2] и М. Морли [3]. Р. Вот доказал, что любой неглавный тип можно опустить в некоторой модели. К. Рыль-Нардзевский доказал, что если число п -типов над пустым множеством конечно для любого п , то теория счетно категорична. М. Морли глубоко исследовал тотально трансцендентные теории, то есть теории, в которых имеется лишь счетное число типов над любым счетным множеством параметров. Как результат этих исследований М. Морли доказал гипотезу Лося о несчетной категоричности полных теорий. В дальнейшем понятие тотально трансцендентной теории было обобщено С.Шелахом до понятия стабильной теории [4] — теории в которой для некоторой бесконечной мощности >с мощность множества полных 1-типов над множеством параметров мощности к не превосходит этой мощности Одним из ключевых свойств стабильных теорий является свойство определимости типов, состоящее в том, что для любых моделей ЭЛ 91 и любой формулы ір с параметрами из 91 существует формула ф с параметрами из ЭЛ, такая что <р(М) Г) М = ф(М). Другим важным свойством стабильных теорий является существование нсответвляющихся расширений типов над множеством, ко-

торое позволяет определить полезное для развития теории понятие независимости множеств.
Далее эта область исследований, которую называют теорией стабильности, развивалось в нескольких направлениях. Одно из направлений — изучение подклассов стабильных теорий, обладающих теми или иными интересными свойствами. С точки зрения спектра стабильности (класса мощностей, в которых теория стабильна) среди стабильных теорий можно выделить подкласс суперстабильных теорий (теории, стабильные во всех мощностях, начиная с 2^ ), в котором являются подклассом и-стабильные, часть из которых являются несчетно категоричными. Так же интересными подклассами стабильных теорий являются сильно минимальные [5] и одпобазнруемые теории [6], [7].
С другой стороны развиваются направления, целью которых является обобщить понятие стабильности, сохраняя при этом те или иные полезные свойства и методы исследования. В развитие методов, основанных на исследовании свойств отношения ответвляемости типов изучаются простые теории [8], розовые теории [9].
Теория стабильности бурно развивалась во второй половине 20 века и продолжает развиваться. Вопросам стабильности посвящены множество публикаций и монографий [10], [11], [12], [13], [14], [15], [16], [17], [18], [19], [20], [21] (список далеко не полный).
Стабильные теории не содержат формульно определимого порядка. Однако теории упорядоченных структур так же могут обладать хорошими свойствами. Развитию этой идеи посвящены исследования о-минимальных и слабо о-минимальных теорий [22], [23], [24], [25], [26], [27], [28], [29], [30].
Следует отдельно отметить исследования теорий пар моделей [31], [32], [33], [34] — теорий, в которых одноместный предикат выделяет подмодель. Основным вопросом здесь является, какие условия нужно наложить на предикат для того, чтобы хорошие свойства теории без предиката сохранялись и для теории пары моделей. Одним из результатов этих исследований является определимость типов над любыми Р -множествами для типов над Р -моделями которая была установлена

Таким образом локальная совместность множества формул R показана. По теореме компактности найдется счетное множество А упорядоченно-неразличимых к -кортежей с условием {3z(z ф а1 Л 2 ф а2 а1) <-» В силу стабильности, А — неразличимое множество.
Возьмем некоторые различные кортежи Ь1, Ь2 £ А. По построению множества А, существует такое d, не принадлежащее кортежам Ь1 и Ь2 , что b1) <-»
(p(d, Ь2)). Без ограничения общности можно считать, что Случай 1: d принадлежит одному из кортежей из А .
Пусть deb3. Т.к. d ф Ь1 и d $ b2, то Ь3 Д Ь1 и Ь3 Д Ь2. Рассмотрим формулу Д(Ь3,х) = (p(d,x.). Тогда выполнено чДЬДЬ1) и _’Д(Ь3, Ь2), противоречие с неразличимостью А. Этот случай невозможен.
Случай 2: d не принадлежат никакому из кортежей из А.
В силу стабильности теории Т и неразличимости множества А, либо 0 . В этом случае в А есть такие кортежи а0,..., ап-1, что для любых других кортежей ап,..., а"+А:_1 6 А выполнена формула 3z(( Д ip(z, а1)) Л (Д ^ip(z,a.n+l))). То есть множество формул
i q(z) = { Разобьем А на две произвольные бесконечные части А! и А2 . В свою очередь Aj = {c*|z < са} разобьем на множества мощности п А! = - Для каждого
Uj выберем dj , который реализует q(z) , с заменой {а0,..., а"-1} на Uj для всех j < п. Рассмотрим D — {djj < ш} . Добавим предикат Р таким образом, что P(d) для d £ D , и P(d) для d D . Ясно, что Р выполнен на всех элементах кортежей из А, т. к. элементы D не входят в кортежи из А. То есть, если полный тип t(X) реализуется на множестве IJ А, то такое задание предиката Р совместно с типом £№4 (А). Для каждого кортежа а £ Ai будет выполнено P(d)A