Метод вычисления группы Галуа многочлена с рациональными коэффициентами

• Автор: Дуров, Николай Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 179 с.

Глава 1. Обзор методов вычисления группы Галуа

1.1. Классический метод абсолютной резольвенты

1.2. Метод относительных резольвент

1.3. Метод линейных резольвент

1.4. Метод подсчета циклических типов

Глава 2. Теорема плотности Чеботарева

2.1. Этальная фундаментальная группа

2.2. Теорема плотности Чеботарева

2.3. Обоснование метода

Глава 3. Подгруппы, С-множества и линейные представления групп

3.1. Категория С-множеств

3.2. Категория С-множеств: проконечный случай
3.3. А-кольца
3.4. Кольцо характеров проконечной группы
3.5. Виртуальные подгруппы
3.6. т-операции и т-критерий
Глава 4. Виртуальные подгруппы симметрической группы
4.1. Характеры симметрической группы
4.2. Поиск виртуальных подгрупп в &п: методы (а) и (с)
4.3. Поиск виртуальных подгрупп в &п: метод (Ь)
4.4. Свойства виртуальных подгрупп

Глава 5. Эффективная реализация метода
, 5.1. Нахождение разбиения А^: общие замечания
5.2. Метод, основанный на вычислении рангов
'• 5.3. Метод, основанный на вычислении следов
5.4. Статистический анализ результатов
Заключение
Список литературы
Приложение I. Примеры и таблицы
1.1. Примеры вычисления группы Галуа
^ 1.2. Таблицы характеров &п при п <
1.3. Виртуальные подгруппы <Зп при п <

Задача вычисления группы Галуа конкретного многочлена с рациональными коэффициентами как подгруппы группы подстановок корней многочлена рассматривалась Жорданом еще в XIX веке. Предложенный тогда метод «абсолютной резольвенты» решал эту задачу в принципе и позволял доказывать определенные теоретические результаты о группах Галуа многочленов, однако был совершенно непригоден для практического использования. Затем в течение долгого времени эта проблема не привлекала внимания исследователей.
Ситуация изменилась в 70-х годах XX века, когда появление и широкое распространение электронных вычислительных машин сделало возможным практическую реализацию алгоритмов вычисления группы Галуа. Эти алгоритмы используются как и по отдельности (например, для изучения подполен данного простого расширения поля рациональных чисел, для вычисления зависимостей между корнями одного или нескольких неприводимых многочленов, для построения многочленов, обладающих заданной группой Галуа, что представляет собой теоретический интерес в связи с обратной задачей теории Галуа), так и в составе других алгоритмов (например, в системах компьютерной алгебры для упрощения выражений с радикалами и алгебраическими числами или функциями, а также для нахождения решений уравнений в радикалах, что исторически послужило одной из основных причин для создания теории Галуа).
Поскольку классический метод абсолютной резольвенты был совершенно непригоден для практического использования, даже на компьютерах, рядом авторов были предложены новые алгоритмы нахождения группы Галуа. Первым из этих методов был метод относительных резольвент, предложенный в 1973 году в работе [20]; практически все последующие предложенные
(т)у)*: Нот#(У',У) —> Нотн(У',/*/'У) = Ноте(/|У',/[У) отождествляется с отображением, индуцированным /1 на морфизмах; аналогично (у)<^(у1). Поскольку /1 и /* являются вторыми сопряженными, из общей теории категорий (гу)<£>(у). Наконец, (у1)=Ф-(уп) очевидно, а для доказательства (уп)=>(1) возьмем произвольный /г е Кег/ и выберем ср € Нотн{С'й-,Н8) так, чтобы b) Отображение переводящее [д, т] в дх, очевидно, эпиморфно; остальные два утверждения пункта следуют отсюда по общека-тегорным соображениям.
c) (1)=2>(п’): заметим, что /}*Х = С5 Xя /*Х = 6га хс X = X; импликации (п’)=>(п)=Ф-(ш) очевидны ввиду Ь); (Ш)=Ф-(1): для любого д € С имеем &?,([ес>0]) = д - &г,([0,е<з]), откуда [еа,д] = Ь,ес], т.е. существует /г £ Я, для которого д — ед • Н = /(Л.); (у)-ФФ(у1) ввиду Ь). Наконец, (п’)<^(гу)<^(у) снова из общих соображений, как и заключение предложения.
Пример 3.1.6. Пусть С — группа, 1 — единичная группа, р: 1 —■> б и д: С —> 1 — единственные возможные гомоморфизмы 1 в С и С в 1. Согласно определению 3.1.3, р и д индуцируют морфизмы топосов Вр: Р —> В<у и В^: Вд —> Р, которые мы для кратности обозначим р ид. Опишем явно возникающие при этом функторы. Функтор д* сопоставляет каждому множеству У его само, рассматриваемое как (^-множество с тривиальным действием С. Функтор д* переводит С-множество X во множество его неподвижных точек Xе1, а функтор сц сопоставляет X множество его С-орбит Х/С. Функтор р* сопоставляет любому б-множеству X само это множество, лишенное действия С; р*(У) = Нотс(С,У) = У°, где С действует, переставляя сомножители в Ус, а р(У) = С х У с действием С, определенным формулой
д ■ (а1, у) - Ы,у)-
Пример 3.1.7. Пусть С — группа, Н С б — подгруппа в С, г: Н —» С — гомоморфизм вложения. Опишем, как устроены функторы ц и г*. Пусть