Гомологии и деформации некоторых градуированных алгебр и супералгебр Ли векторных полей

• Автор: Кочетков, Юрий Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 81 с.

Введение Глава 0.

Основные понятия.

Глава 1.

Алгебра К(1,1).

Дополнение А.

Деформации Ь.

Глава 2.

Деформации алгебры Ь2(]У)

Приложение В.

Деформации алгебры Д

Глава 3.
Деформации гамильтоновой алгебры Н(2).
Глава 4.
Деформации супералгебры Н(0,п).
Глава 5.
Деформации алгебры Витта и алгебры Вирасоро. Список литературы.
Стр. 2.
Стр. 13.
Стр. 20.
Стр. 34.
Стр. 38.
Стр. 46.
Стр. 53.
Стр. 62.
Стр. 75. Стр. 79.
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Гомологическая теория градуированных алгебр и супералгебр Ли насчитывает более 30 лет интенсивного развития. За это время были разработаны основные методы изучения гомологий и найдены гомологические характеристики многих важных и интересных объектов [21]. Выявились, однако, и принципиальные трудности теории: однообразие и относительная элементарность используемых методов и высокая комбинаторная сложность доказательств. Часто (например, в случае Д-подалгебр алгебры Витта ГГ или супералгебры К( 1,1)) поведение размерностей групп гомологий совершенно очевидно, но доказательство казалось бы очевидного утверждения трудно или вообще неизвестно.
К началу 90-х годов были описаны (ко) гомологии алгебры полиномиальных векторных полей от п переменных ИД и некоторых ее подалгебр. Гомологические свойства подалгебр Д этих алгебр были изучены лишь для алгебры ИД (т.е. для алгебры Витта ГГ): описание ЯДД), к ^ 1, было дано в работах Л.Гончаровой [2] и Ф.Вайнштейна [1], а описание Я*(Д,М), где М — т.н. дифференциальный модуль, в работе Фейгина-Фукса [20]. Кроме того, был достигнут существенный прогресс в описании гомологий с тривиальными коэффициентами и деформаций конечномерных супералгебр векторных полей [13].
Нерешенными остались задачи описания (ко) гомологий с нетривиальными коэффициентами алгебр Ли векторных полей с числом переменных ^ 2, описания (ко)гомологий подалгебр Д таких алгебр и описания (ко)гомологий с нетривиальными коэффициентами подалгебр Д С ИД к > 2, а также некоторые задачи о конечномерных супералгебрах Ли векторных полей. Задача вычисления (ко) гомологий подалгебр Д алгебр ИД представляется безнадежной уже для алгебры ИД Для ее подалгебры гамильтоновых векторных полей на плоскости доказана лишь частичная теорема конечности [22]. Но для К(1,1) — супералгебры Ли формальных векторных полей от одной четной и одной нечетной переменной — задача представляется более доступной.
Суммируя, можно сказать, что первоочередные задачи гомологической теории (супер) алгебр Ли векторных полей — это описание гомологий с тривиальными коэффициентами подалгебр Д алгебр Ли формальных векторных полей от двух переменных и описание

деформаций таких алгебр, а также описание (ко)гомологий с нетривиальными коэффициентами (в том числе деформаций) подалгебр Ьк С И7!- Недавно Д.Фукс и А.Фиаловски [18] дали полное описание деформаций подалгебры Ьг С ИДА в своей следующей работе [19] они предложили процедуру построения базы миниверсальной деформации данной алгебры Ли. Применение этой техники к алгебре Л1 С позволило дать более прозрачное доказательства основного результата их предыдущей работы. Следующий по сложности объект — это подалгебра Л2 С ИД Однородные деформации Л2 (т.е. деформации, отвечающие однородным в смысле градуировки коциклам) были впервые изучены автором и Постом [10]. В недавней работе Поста и Фиаловски [15] были обобщены результаты работы [10] и была предпринята попытка дать описание базы миниверсальной деформации алгебры Л2. Эту попытку нельзя считать вполне удачной: описание базы столь громоздко, что понять геометрию базы из этого описания нельзя. Этот результат показывает, что надежды, возлагавшиеся на метод Фиаловски-Фукса, вряд ли обоснованы.
В приложениях особенно важны три задачи: задача о соотношениях, задача об одномерных центральных расширениях и задача о деформациях. Среди задач о когомологиях с нетривиальными коэффициентами задача о деформациях самая важная, в том числе и потому, что алгебры Ли векторных полей играют заметную роль в физике, и деформации таких алгебр имеют отчетливый физический смысл. Задача о соотношениях сводится к вычислению второй группы гомологий с тривиальными коэффициентами, задача об одномерных центральных расширениях — к вычислению второй группы когомологий с тривиальными коэффициентами, задача о деформациях — к вычислению второй группы когомологий с коэффициентами в присоединенном представлении. Описание соотношений позволяет понять структуру бинарной операции — скобки в алгебре Ли, т.е. насколько алгебра отличается от свободной. Центральные расширения и деформации позволяют строить новые алгебры Ли, интересные для приложений (как, например, алгебра Вирасоро — центральное расширение алгебры Витта ¥г).
Особый интерес вызывает изучение гомологических свойств ниль-потентных подалгебр Ьградуированных алгебр Ли (т.е. линейных оболочек однородных элементов степени > к, к > 1). Во-первых нильпотентность позволяет изучать бинарную операцию в “чистом” виде, следя за образующими и игнорируя элементы

(2) Члены Е1_гд ~ /4 0 е4_т И #14|5 ~ /в ® е5_т существуют при то < 1. Отображение
<*6 : #-3,4 ® #-4,5 ~^ #-8,10 ® #-9,11
из двумерного пространства в трехмерное при т ^ 1 обладает следующими свойствами:
(a) кег = 0;
(b) бшпт(ф) П хо = 1;
(c) сйтшфф) П Е1_д п = 1.
При т = 2 член Е1_зл не существует, но нетривиален дифференциал ф : #145 ^9 хх.
(3) Член #113|15 существует при то ^ 12. Кратчайший дифференциал ф : ^1131в -> #1x5да нетривиален при то < 12. При т = 12 нетривиален дифференциал ф : £?^.1315 -> £?11619.
(4) Член Е1х2Д4 существует при то ^ 11. Дифференциал ф : #-12,14 —» ^1x6,19 всегда нетривиален.
(5) Член #1цд3 существует при то < 10. Дифференциал ф : Я1Ц113 #-1720 из двумерного пространства в двумерное всегда нетривиален.
(6) Член #1x0 X2 существует при то ^ 9. Дифференциал йд : #-10,12 #-18,21 всегда нетривиален.
(7) Член #19)11 существует при то ^ 8. Образ дифференциала Фх : Е1_3 п —» Е^1д 22 одномерен, а ядро совпадает с образом дифференциала ф из пункта 2.
(8) Член #1810 существует при то ^ 7. Дифференциалы ф : #-8,10 #-7-* 10+*;; ^ = 8 17, всегда тривиальны.
Таким образом, члены #17д, #13до и #1дДх вносят вклад в группу Н2(Ь3,Ь3) только если они существуют и не “убиваются” дифференциалами ИЗ #134, -Ет-4,5 ИЛИ И3 #-5,6; а эт0; в свою ОЧврвДЬ возможно только в том случае, когда какой-нибудь из членов Е]_3 4, #14 5 или #15>6 не существует.
Теорема В1. (ТтЯ2(Тз, Т3) = 15, причем размерность группы Я(2т)(Тз, #з) равна 1 при то = 2,8, раена 2 при то = 3,7 и равна 3 при т = 4,5,6.
Явный вид нетривиальных коциклов
Мы будем строить нетривиальные коциклы как дифференциалы коцепей из Сг(Ь3,Ш)