Конечные группы и модулярные формы

• Автор: Воскресенская, Галина Валентиновна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 169 с.

Оглавление
Введение
0.1 Предмет и цели исследований
0.2 Объекты и методы исследований
0.3.Содержание работы
1. Конечные группы и ассоциированыые с ними семества q - рядов
1.1 Основные принципы соответствии с помощью фрейм - формы
1.2 Категория G-MF - SET
1.3 Категория GR-MF - SET
1.4 (G, Ф)—множества как элементы полугруппы
1.5 Редуцированные (G, Ф)—множества
1.6 Вложения групповых алгебр в прямые суммы
пространств модулярных форм
1.7 Модулярные формы, независимые относительно группы
1.8 "Уровень"группы
1.9 Открытые проблемы н перспективы исследований
2. Группы и q - ряды с мультипликативными коэффицентами : абелев случай
2.1 Мультипликативные ij— произведения
2.2 Определение Mt/P - группы
2.3 Циклические MriP - группы
2.4 Абелевы Mi]P - группы, содержащие
элементы порядков 5,7, 11,
2.5 Абелевы МцР - группы порядка 2п
2.6 Абелевы М7)Р - группы с элементами порядка

3. Метациклические группы и
(1 - ряды с мультипликативными коэффицентами
3.1 Формулировка теоремы
3.2 Диэдральные группы и мультипликативные
т)— произведения
3.3 Метациклические Л///Р— группы
при т = 3,4,5,7,11,
3.4 Метациклические Мг)Р—группы
при т = 10, 14, 15, 20, 21,
3.5 Метациклические Л/г/Р—группы
при ш = 6,8,9,12,16,18,
4. Другие Мт)Р— группы
4.1 Силовскнс подгруппы нечетного порядка М//Р— групп
4.2 МцР— группы порядка
4.3 Мт)Р— группы порядка 16 и
4.4 М'цР— группы нечетного порядка
4.5 Простые М-цР— группы
4.6 Мг)Р— группы вида Агп х 2„. т = 4, 5, С
4.7 Группа 5з
4.8 Группа 5'в
5. Роль мультипликативных
г/— произведений в некоторых общих ситуациях
5.1 Мультипликативные //—произведения и
присоединенное представление Р/>(5, С)
5.2 Мт]Р— подгруппы в БЬ(5, С)
5.3 Характеры Рамануджана и характеры Вейля
5.4 Ограничения представлений на Мг]Р - подгруппы
5.5 Регулярные представления и коэффициенты q— рядов
5.6 Алгоритмический подход

6. Модулярный аналог генетического кода
6.1 Модулярный генетический код для групп порядков от 1 до 8 .
6.2 Код для циклических групп порядка р1 (р. 6) =
6.3 Коды для групп порядков р2, рд
6.4 Коды для групп
6.5 Коды для групп порядка
7. Суммы Шимуры
7.1 Определение и исторические замечания
7.2 Явные вычисления сумм Шимуры
7.3 Связь с другими арифметическими суммами
7.4 Суммы Шимуры для коэффициентов д~ рядов
7.5 Суммы Шимуры и мультипликативные р— произведения
7.6 Арифметика квадратичных гголей и суммы Шимуры
Список литературы

корни 10-й и 5-й степени из 1, входят в искомой представление с кратностью 1, четыре неприводимых представления, переводящие / в 1 и -1, входят в искомой представление с кратностью 2. Искомое представление единственно.
Покажем, что группа Zw х 2-, х 2ч не является МгР - группой. Пусть подгруппа 2ю порождается элементом /, и Ф—такое одномерное представление, которое переводит / в £ю. Тогда число
< Хт, Хф >= ^(24 + 4 ■ (С5 + Сб + Се + 00) = 0, 5.
Так как это число должно быть целым, получаем противоречие.
Покажем, что группа 2щ х 23 не является допустимой. В этой группе 32 элемента порядка 15, которые соответствуют модулярной форме
Il(15z)^|(5z)l|(3z)т|(z), 4 элемента порядка 5, которые соответствуют модулярной форме г]4(5г)г]4(г), 8 элементов порядка 3, которые соответствуют дв(3г)д6(г). Тогда число
< Хт, XI >= тг(24 + 32 + 4-4 + 6-8) = |

Так как это число должно быть целым, получаем противоречие.
Покажем, что группа 2чо х 2п не является МгР - группой. В этой группе 16 элементов порядка 20, которые соответствуют модулярной форме //(20г)г/(4.г), 12 элементов порядка 10, которые соответствуют модулярной форме ;/2(102)772(2г), 4 элемента порядка 5, которые соответствуют модулярной форме 1/4(5г)г)4(г), 4 элемента порядка 4, которые соответствуют т/6(4г), 3 элемента порядка 2, которые соответствуют l|r2(‘2z). Пусть подгруппа 2чъ порождается элементом /, и Ф—такое одномерное представление, которое переводит / в фо- Тогда число
< Хт, Хф >= 0:5.
Так как это число должно быть целым, получаем противоречие.
Теперь мы можем сделать вывод: максимальными абелевыми Мт)Р -группами, содержащими элементы порядка 5, являются х 2о, 2ча-
2.4.2. Абелевы Л'/т/Р - группы, содержащие элементы порядка

Покажем, что группа 27 х 27 не является Мт/Р - группой.
Пусть Т—искомое представление, у—его характер. Тогда х(р) ~ 24. (д) =
3, если ог<1(д) = 7, так как в этом случае элемент д соответствует модулярной форме г]3(7г)т)3(г). Получим < х,Х1 >= ^(24 + 48 • 3) = у. Мы получили противоречие, так как это число должно быть целым.
Покажем, что группа 2ч х 23 не является МдР - группой. Имеем Хт(д) = з, если огй(д) = 7; "/'(