Приложения дискретного эргодического метода к арифметике бинарных и изотропных тернарных квадратичных форм

• Автор: Пачев, Урусби Мухамедович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Нальчик
• Количество страниц: 189 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

ГЛАВА I. Сведения из теории бинарных квадратичных форм и

арифметики матриц второго порядка

§ 1. Бинарные квадратичные формы и алгебра матриц второго порядка

§ 2. Об арифметике кольца целых матриц второго порядка

§ 3. Теория поворотов вектор-матриц второго порядка

§ 4. О матрицах второго порядка большой нормы

Г ЛАВА II О дискретном эргодическом методе. Ключевая лемма

§ 1. Идея метода на модельном примере
§ 2. Ключевая лемма ДЭМ для вектор-матриц второго порядка
(случай двуполостного гиперболоида)
§ 3. Ключевая лемма для вектор-матриц второго порядка(общий
случай) и ее уточнение
ГЛАВА III. Представление целых чисел изотропными тернарными
квадратичными формами (приложение ДЭМ)
§1. Введение
§ 2. Построение потока и эргодическая теорема для целых примитивных точек на простейшем изотропном гиперболоиде
§ 3. Эргодическая теорема для примитивных точек на изотропных
гиперболоидах
§ 4. Теорема перемешивания и равномерное распределение целых

точек на изотропном гиперболоиде
ГЛАВА IV. Приложения дискретного эргодического метода к
арифметике бинарных квадратичных форм
§ 1. Введение
§ 2. Эргодические свойства потоков классов положительных бинарных квадратичных форм в гауссовых родах
§3.0 числе классов гауссового рода, арифметический минимум
которых делится на квадрат заданного нечетного числа
§ 4. О числе классов положительных бинарных квадратичных форм
с условием делимости произведения крайних коэффициентов
§ 5. Об асимптотике приведенных целочисленных бинарных квадратичных форм с условием делимости первых коэффициентов
Литература
Введение
Предлагаемая диссертация посвящена завершению исследований по приложениям дискретного эргодического метода (далее для краткости ДЭМ) к вопросам асимптотического распределения бинарных квадратичных форм и целочисленного представления чисел изотропными тернарными квадратичными формами. Основы этого своеобразного аналитико-алгебраического метода, используемого в нашей работе, были заложены академиком Ю.В. Линником [24,28] для изучения распределения целых точек на сфере х2 + у2 + z2 -ли на гиперболоиде xy-z2 = п, где п - растущий целочисленный параметр (см. также [33,34]). К этим основным статьям следует еще присоединить заметку Ю.В. Линника [30], развивающую результаты [28], а также его же работы [29,32,62], содержащие некоторые дополнения к [28,30].
В дальнейшем ДЭМ развивал A.B. Малышев сначала совместно с Ю.В. Линником применительно к положительным тернарным квадратичным формам [35], затем самостоятельно [38,39] и со своими учениками (см., напр., [71,1,42]). Важные исследования по применению ДЭМ к изучению асимптотического распределения целых точек на однополостном гиперболоиде ху - z2 = п, п < 0 проводил Б.Ф. Скубенко [51, 52].
Другой подход, использующий элементарные эргодические соображения, намечен Б.М. Бредихиным и Ю.В. Линником [2,3] для изучения асимптотической геометрии решений так называемого уравнения Харди-Литтлвуда р + х2 + у2 = т , где р пробегает последовательность простых чисел.
В развитие метода дальнейший вклад внес также М. Петерс [68], соединивший ДЭМ с теорией спинорных родов, что позволило ему получить теорему о существовании представлений чисел (но без асимптотики, а только оценки) рациональными положительными тернарными квадратичными фор-

Такие вектор-матрицы L и L', о которых идет речь в этом следствии, будем называть эквивалентными (собственно эквивалентными, если N(W) = 1).
Распространим теперь на вектор-матрицы второго порядка все понятия, связанные с бинарными квадратичными формами.
Мы говорим, что невырожденная вектор-матрица
L=z[y 1)’ M(L) = ar-/32*0 (1.12)
положительна, если соответствующая ей бинарная квадратичная форма (pL = (a,j3,y) положительна, т.е
а> 0, N(L) = d(tpL) = ay-J32 >0 (1-13)
и что L отрицательна, если cpL отрицательна, т.е
а< 0, ay - 01 > 0 (1-14)
Наконец, говорим, что L неопределенна, если ср, неопределенная, т.е.
если
N{L) = d{(pL)< 0. (1.15)
Аналогично будем называть вектор-матрицу L вида (1.12) приведенной, если соответствующая ей бинарная квадратичная форма (pL -(а,/3,у) приведена. Для каждой вектор-матрицы L найдется такая целая матрица Е, N(E) = ±1, что вектор-матрица приведена (этим свойством мы будем пользоваться в гл. III и IV).
Если вектор-матрица L является положительной, то она приведена тогда и только тогда (см. напр, [б], гл. IV, § 3), когда выполнено одно из неравенств (1.2). Вместо области (1.2) можно взять любую другую область приведения F; все они получаются из области приведения F 0, определяемой (1.2) целочисленными унимодулярными преобразованиями W, detlE = ±1, F=F0W. Тогда мы говорим о F-приведенных вектор-матрицах.