Конгруэнции на полукольцах и полуполях непрерывных числовых функций

• Автор: Чупраков, Дмитрий Вячеславович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Киров
• Количество страниц: 106 с. : ил.

Оглавление
Введение

I Предварительные сведения

1 Основные понятия теории полуколец

2 Полукольца непрерывных функций на топологических пространствах

II Продолжение конгруэнций полуполей непрерывных функций

3 Продолжение конгруэнций полуполя иу(Х)

4 Продолжение конгруэнций полуполя II(X)

III Решётки конгруэнций полуколей и полуполей непрерывных

функций

5 Дополнения и псевдодополнения конгруэнциий полуколец непрерывных функции й

6 Ретракты решёток конгруэнций полуколец непрерывных функций
7 Максимальные и предмаксимальные конгруэнции на полукольцах непрерывных функций с идемпотентным сложением
IV Характеризация свойств топологических пространств в терминах полуколец и полуполей непрерывных функций
8 Характеризации Р-пространств
9 Характеризации Р-пространств
10 Характеризация некоторых других свойств топологических пространств
Список литературы
Предметный указатель
Введение
Диссертация посвящена важному активно развивающемуся разделу функциональной алгебры — полукольцам непрерывных функций. Объектом исследования являются конгруэнции на полукольцах и полуполях непрерывных числовых функций над топологическими пространствами.
Кратко осветим историю развития теории полуколец непрерывных функций. Полукольца непрерывных функций появились в рамках классической теории колец непрерывных функций, которая зародилась в работах М. Стоуна 1937 г. [48], И.М. Гельфанда и А.Н. Колмогорова 1939 г. [14], Хьюитта 1948 г. [44], и окончательно оформилась после выхода в свет в 1960 г. замечательной книги Гилмана и Джерисона [42]. Главным объектом теории служит кольцо С(Х) всех непрерывных действительнозначных функций, заданных на произвольном (тихоновском) топологическом пространстве X, с поточечно определёнными операциями сложения и умножения функций. Изучались также кольца С(X, К) непрерывных функций со значениями в различных топологических кольцах К, начиная с М. Стоуна [48], Канланского [45], Р. Пирса [46]. Развитие теории колец непрерывных функций в этом направлении отражено в обзорах Е. М. Вечтомова [7, 8, 50, 51] и книгах [9, 10].
Исследование полуколец непрерывных функций стало важным направлением развития и модификации теории колец С(Х). Здесь выделяются два объекта: полукольцо С+(Х) всех непрерывных неотрицательных функций на

Глава I. Предварительные сведения

Значит, [к V дц =/-- дк V fq, ирПтО. Противоречие.
Получаем (/ — д)(к — (?) = 0 для любых функций /, р. к, д € 5 таких, что
/рд, т<1-
Достаточность. Рассмотрим конгруэнции р,т & Соп Б(Х), для которых выполняется условие (/—д)(к — д) = 0 при любых функциях /, <7, /г, г/ таких, что /рд и /тр Возьмем функции / и /7, находящиеся в отношении рПт. Тогда (/ — р)(/ — р) = 0, или / = р. То есть р П т = О. □
Лемма 2.3. Длл произвольных функций /, д, к. д <Е З'(Х) равенство р(/, р) П р(/г, д) = 0 эквивалентно равенству (/ — р)(/г — р) = 0.
Доказательство. Необходимость доказана в лемме 2.2. Для доказательства достаточности заметим, что равенство (/ — р)(/* — ЛЕММА 2.4 ([4, лемма 1.6]). Если функции ф,д С+(Х) имеют НОД, то они имеют и НОК.
ЛЕММА 2.5 ([4, лемма 1.8]). Если фд = 0 длл /, д & С1 (X) и существует НОД(/,д), то /1(002/) = {0} и /1(002д) = {1}, для некоторой функции к € С1(Х).
Подмножества А и В пространства X называются функционально отделимыми, если существует функция / € С(Х), принимающая значение 0 на А и 1 па В.
Топологическое пространство называется Т1 -пространством, если все его одноточечные множества замкнуты.