Гомотопическая теория нормальных рядов в группах

• Автор: Михайлов, Роман Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 214 с.

Оглавление
0 Введение
1 Аппроксимационные свойства
1 Нильпотентная аппроксимируемость групп
1.1 Инварианты Бэра
1.2 Нильпотентная аппроксимируемость к -центральных расширений
1.3 Группы с одним определяющим соотношением
1.4 Разрешимая аппроксимируемость
2 Асферичность и аппроксимационные свойства скрещенных модулей
2.1 Скрещенные модули
2.2 Точность действия и аппроксимационные свойства cat1 -групп
II Размерные подгруппы
3 Гомологии и обобщенные размерные подгруппы
3.1 Мультипликатор Шура и его фильтрации
3.2 Когомологически согласованные идеалы
4 Комбинаторика размерных подгрупп
4.1 Группы без размерного свойства
4.2 Четвертая размерная подгруппа
4.3 Пятая размерная подгруппа

4.4 Квазимногообразия групп
4.5 Лиевы размерные подгруппы
5 Симнлициальные аспекты теории размерных подгрупп
5.1 Полиномиальные функторы
5.2 Две спектральные последовательности
5.3 Четвертая размерная подгруппа
5.4 Пятая размерная подгруппа
III Гомотопические аспекты теории групп
6 Симнлициальные методы в теории групп
6.1 Гомотопические модули
6.2 F[K -конструкция Милнора и теория групп
6.3 7Г3 некоторых двумерных комлексов
6.4 Доказательство гипотезы для п = 2 и п
7 Приложения
7.1 Симметрические произведения идеалов
7.2 Длинные коммутаторы

Глава О
Введение
Основные объекты исследования данной работы - нижние центральные ряды, размерные ряды, производные ряды в группах, а также степени фундаментальных (ауг-ментационных) идеалов групповых колец. Пространство математических связей и приложений данных понятий оказывается едва обозримым. Это и теория гомото-пий, и алгебраическая К-теория, и геометрическая топология, и арифметика.
Данная работа следует двум направлениям и целям: 1) изучение аномальных объектов, построение различных контрпримеров, и 2) обнаружение гомологических и гомотопических связей, перемешивание теории груші с теорией гомотопий, получение как теоретико-групповых результатов методами гомологической и гомотопической алгебры, так и гомотопических результатов методами теории групп. Большую часть данной работы можно отнести к гомотопической теории групп - области алгебры, находящейся в процессе формирования и не имеющей на данный момент четких границ. Говоря неформально, гомотопическая теория групп - это область, объединяющая теорию симилициальных групп, теорию производных функторов от неабелевых функторов, теорию скрещенных комплексов и т д.
Введем основные определения. Пусть <3 группа. Обозначим через {7П(С)}„>1 нижний центральный ряд в (3 , определяемый индуктивно как
7і (С) = <3, 7„+і(С) = [7„(Є), (3] = {{х,у := х~1у~гху х Є 7п(С),г/ € (3)°, п > 1. Производный ряд {(5П(С)}„>1 определяется индуктивно как &( 1.

Рассмотрим мультипликативную подгруппу в вышеописанных т х т матрицах, порожденную элементами рт(х),х £ X. Из (1.3.1) следует, что эта подгруппа изоморфна ^/7т(^) :
ад = ^(/),/^)-
Таким образом, получается матричное представление свободной нильпотентной группы Р’/7т(Р’) •
Замечание 1.3.1 Для т > 3 , подкопредставление хт в (т — 1) х (т — 1) матрицы, получаемое из рт удалением первой строки и первого столбца (или т -й строки и тп -го столбца), совпадает с представлением рт_1 , где в качестве Пт_1 рассмотрено кольцо 2[А^+1(Х)], г = 2,..., т — 1 (соотв. г[;+1рО],г = 1,... ,т — 2 ).
Лемма 1.3.1 Пусть т > 3 и
Мт(/) =
для некоторого / е Т . Тогда

1 &12 &

О О
#*«((/-1)т_1) =
&2,ш+
А) 0 ... 0 &12 • • • дт,т+А
о о ... о о

Доказательство. Непосредственно доказывается индукцией по т , используя замечание 1.3.1. □
Следующий результат принадлежит В. Магнусу [63]. Мы приводим его с доказательством для демонстрации того, как работает метод вложения Магнуса при решении теоретико-групповых задач.
Предложение 1.3.1 [63] Пусть для некоторого т > 1 ,
и в 7т(Т’)7т+1(Т’),

(1.3.2)