Соотношения предшествования слов в упорядоченных полугруппах

• Автор: Макаридина, Вера Андреевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 117 c. : ил

Глава I. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА И ПОЛУГРУППЫ

ЭНДОМОРФИЗМОВ

§1. Основные определения и обозначения

§2. Максимальные упорядоченности некоторых полугрупп преобразований

Глава 2. МНОГООБРАЗИЯ О-ПОЛУГРУПП

§1. Основные определения

§2. Решетка многообразий 0-полугрупп

§3. О покрытиях в решетке £

§4. Тождества в о-полугруппе я)

Глава 3. ЗАДАНИЕ 0-ПОЛУГРУПП ОПРЕДЕЛЯЮЩИМИ

СООТНОШЕНИЯМИ

§1. Способы задания о-полугрупп определяющими
системами соотношений
§2. Некоторые алгоритмические проблемы в о-полугруппах, заданных определяющими соотношениями
§3. о-полугруппы, заданные одним определяющим соотношением предшествования
БИБЛИОГРАФИЯ
В последние годы заметно увеличилось число работ, посвященных изучению упорядоченных полугрупп. Здесь и ниже под упорядоченной полугруппой будем понимать частично упорядоченную полугруппу, порядок в которой двусторонне стабилен относительно действия. Причина особого выделения в теории полугрупп этого направления заключается как в естественности аксиоматики, так и в том, что во многих случаях, когда возникает необходимость рассмотрения тех или иных полугрупп, в них естественным образом обнаруживается отношение упорядоченности, игнорировать которое бывает либо нецелесообразно, либо просто невозможно. В особенности это проявляется при изучении полугрупп преобразований. Полугруппы преобразований играют в общей теории полугрупп исключительно важную роль. С одной стороны, как известно, каждая полугруппа изоморфна некоторой полугруппе преобразований. Таким образом, в некотором смысле всю теорию полугрупп можно рассматривать как абстрактное учение о суперпозиции преобразований. С другой стороны, теория преобразований - один из общих разделов теории полугрупп. Создание общей теории для исследования преобразований и было одной из первых задач теории полугрупп. При изучении полугрупп преобразований в них естественным образом определяются некоторые упорядоченности. Основные результаты направления, посвященного изучению упорядоченных полугрупп преобразований, изложены в обзорной статье М.Г.Могилевского [34].
Следует иметь ввиду, что в множестве с ассоциативным действием, как правило, может быть несколько стабильных упорядоченностей, которые могут оказаться как-то согласованы между собой. Поэтому при изучении упорядоченных полугрупп важную

роль играет исследование взаимосвязей различных таких упорядоченностей. Это относится как к абстрактным полугруппам, так и в еще большей мере к конкретным полугруппам, в частности, к полугруппам преобразований. В настоящее время имеется довольно много работ, посвященных рассмотрению этих вопросов. Следует отметить особую заслугу саратовских алгебраистов как в решении этих вопросов, так и в развитии общего направления по изучению упорядоченных полугрупп преобразований.
Важным способом задания полугруппы является задание ее определяющими соотношениями над порождающим множеством. Этот способ используется и для задания групп, и для задания колец.
В [18] он обобщен для задания алгебраических систем произвольной сигнатуры. Он может быть использован и для задания упорядоченных полугрупп. Роль определяющих соотношений в упорядоченной полугруппе играют соотношения предшествования, они определяют и действие, и порядок.
Одним из направлений общей теории полугрупп является теория полугрупповых многообразий. Было бы естественно поставить вопрос о разработке аналогичного направления в теории упорядоченных полугрупп. Постановка этой проблемы закономерна и обусловлена, на наш взгляд, следующими причинами. Во-первых, при изучении алгебраических систем любой сигнатуры рассмотрение тождественных соотношений дает основание для удобной классификации однотипных алгебраических систем. Во-вторых, выполнимость в алгебраической системе тех или иных тождественных соотношений является одним из важных свойств, во многом характеризующим и остальные ее свойства /например, коммутативность, ассоциативность/. В-третьих, тождественные соотношения играют важную роль при описании алгебраической системы с по-

но упорядоченных полугрупп с нулевым умножением. Многообразие А состоит из тривиально упорядоченных коммутативных групп, р -я степень каждого элемента которых равна единице /легко показать, что такие группы не допускают никакого упорядочения, кроме тривиального/. Многообразие состоит из всевозможных коммутативных положительно упорядоченных полугрупп идемпотен-тов. Покажем, что коммутативная
Действительно, пусть &(•*-,*) * Г* . Так как тождество выполняется в 5 я) , то из следует а - 6 (л)
же } то /л) и так как тождество
выполняется в 5/«£>я) , то . Обратно, пусть в коммутативной о-полугруппе идемпотентов 5С*, д) порядок определяется правилом СО, Используя тождества ££.=Ы<■> //=£/ , выполняющиеся в Ь(сЪ, Л') , легко показать выполнимость в ней тождества ~ !< !г. . Значит, е Г* . Заметим кстати, что порядок
Л в любой с»-полугруппе б<У, я) из максимален. Действительно, пусть /*• - стабильный относительно ос порядок в 5 , содержащий Л . Из С/*) следует лв^ 8г = 8 (р) и так как
% $ оЛ С я) 9 т0 8=а.£ и (Л) , Многообразие /^"двойственно многообразию А
2.5. Роль выписанных в 2.4. многообразий определяется следующей теоремой:
ТЕОРЕМА. Многообразия /?, А, А', А”, /Г, А~, Гр / р - простое число/ являются атомами в решетке 21 . Ими исчерпываются все атомы этой решетки. Всякое отличное от наименьшего многообразие о-полугрупп содержит атом.