Централизаторы 2-подгрупп в конечных группах

• Автор: Веретенников, Б.М.
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Свердловск
• Количество страниц: 75 c. : ил

1. Определения и обозначения. Формулировки теорем.

Некоторые известные результаты

2. Конечные группы, в которых централизатор любой элементарной подгруппы порядка 8 является 2группой

3. Конечные группы, в которых элементы нечетного

порядка не централизуют подгрупп порядка

§ I. Случай группы типа характеристики

§ 2. Компонентный случай

4. О централизаторах инволюций, в которых централизатор любой подгруппы порядка 4 является 2группой

5. О централизаторах инволюций, имеющих факторгруппу, изоморфную ^-2.(2-)-

ЛИТЕР АТ ЗГА

В теории конечных неразрешимых групп большое значение имеют характеризации групп свойствами централизаторов инволюций. По заданному строению централизатора некоторой инволюции были открыты многие простые группы. Так были получены спорадические группы
. Не и другие. Большой интерес вызывают также теоремы, характеризующие конечные группы, в которых централизаторы всех инволюций обладают некоторым общим свойством. При доказательстве одной теоремы такого рода М.Судзуки открыл новую бесконечную серию конечных простых врупп. Эта теорема, называемая теоремой о С1Т -группах, утверждает, что конечная неабелева простая группа, централизаторы всех инволюций которой являются 2-группами, изоморфна одной из следующих групп: Ци1"),
«• ■» 1 , 1 где Ч, -простое число Ферма или Мерсенна,
В последние годы появился интерес к характеризациям конечных неразрешимых групп свойствами централизаторов 2-подгрупп порядка, большего 2. В 1973 году В.В.Кабанов в[7] описал конечные простые группы, в которых централизаторы всех подгрупп порядка 4 являются 2-группами, все инволюции центральны и их централизаторы разрешимы. В 1976 году А.Н.Фомин [15] выяснил строение нетонкой 2-скованной 2-локальной подгруппы в группе, в которой централизаторы всех четверных подгрупп являются 2-группами.
В 1978 году С.А.Сыскин? избавился от дополнительного ограничения на инволюции и их централизаторы в результате В.В.Кабанова. В [14] им был0 доказано, что все конечные простые группы, в которых централизатор любой подгруппы порядка 4 является 2-группой, исчерпываются известными и, следовательно, принадлежат списку:
/___ ДЛЯ подходящего <^5 £^(2.
Lз(м)> 3
В этом же году была опубликована статья С.А.Сыскина [и]. в которой он классифицировал конечные простые группы, централизаторы всех четверных подгрупп которых являются 2-группами. К группам из списка теоремы I из [ДЧ1 добавились следующие группы:
2 1 / все оставшиеся для *>ч,т;с2), исщ
для подходящих нечетных
Естественным продолжением исследований В.В.Кабанова, А.Н. Фомина и С.А.Сыскина является изучение групп с соответствующими ограничениями на централизаторы подгрупп порядка 8. К этому вопросу относятся теоремы I и 2 диссертации.
Теоремой I классифицируются конечные простые группы типа характеристики 2, в которых централизаторы всех элементарных подгрупп порядка 8 являются 2-группами, причем 2-локальный 3-ранг самой группы не превосходит I. Эта теорема используется в доказательстве теоремы 2, которой описываются конечные простые группы, централизаторы всех подгрупп порядка 8 которых являются 2-группами
Заметим, что теоремы I и 2, как и цитируемые результаты С.А.Сыскина, являются также нечетными характеризациями. Так, теоремой 2 описываются конечные простые группы, централизатор любого элемента нечетного порядка в которых имеет силовскую 2-подгруппу порядка, не превосходящего 8.
Во всех изложенных результатах централизаторное условие, а именно, требование, чтобы централизаторы подгрупп порядка 4 (соответственно 8) или только элементарных этого же порядка были 2-группами, выполняется во всей группе. Естественный интерес вы-

ментарная группа, то Cs>bGsett; . По лемме 10 / и централизуют ~Z. , ч/'t <£- G? , следовательно, Ivèf ^ 2. . Отсюда, V £ ^ ^ поэтому (vj = ^Sola) ■
Лемма доказана.
Лемма 13. S-Q не содержит инволюции Чг такой, что CsM> - элементарная группа порядка 21-1.
Доказательство. Предположим противное. Покажем, что подгруппа С=с$д-ь; слабо замкнута в S относительно G- • Пусть для некоторого элемента ^ из Gr
не лежит в Q , то по лемме 12 C3=(L . Поэтому
предположим, что с? . По теореме Альперина Гг?
S содержит такую подгруппу S, , ЧТО С ; С ^ S
ms,;-л/(с). Так как С ,С ^ ^ C2CS,) , то можно считать,
что 51 содержится в So • Докажем теперь, что Z <3 N($>i) ,
Так как SHQ не содержится в Z и S1 содержит ИНВОЛЮЦИЮ из S-Q , то Z. ( S1 шосК ) — Z • Если
группа ступени нильпотентности 3, то в силу строения S <чу
= [s„s;3, поэтому Z N (Si).
Допустим, что подгруппа Z не инвариантна в . Тогда S{ - группа ступени нильпотентности 2, Z ^Z(St) . Покажем, что для любой ИНВОЛЮЦИИ ИЗ z(S,j-<ï7 имеет место включение . Если х Gr Çj — Q , то
| U,C.*3| ~7/ , так как le3": z:nc.3bt- . Значит,
ZCS,w0Jj >V , следовательно, ~Z ( Si ёТ . Так как
7-*Z(Si) , ТО L*>ïl — ^ для некоторых элементов
Тогда ^ xts J t^vi о . Итак,