Вопросы сопряженности в конечных группах лиева типа

• Автор: Гальт, Алексей Альбертович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 76 с. : ил.

Оглавление
1 Введение
§1 Общая характеристика основных результатов работы
§2 Обозначения и результаты из теории групп
§3 Линейные алгебраические группы
§4 Конечные группы лиева типа
§5 Известные результаты
2 Нормализаторы подсистемных подгрупп в конечных группах лиева типа
§1 Строение редуктивных подгрупп максимального ранга в
конечных группах лиева типа
§2 Группы индуцированных автоморфизмов подсистемных подгрупп в конечных группах лиева типа
§3 Доказательство теоремы
3 Конечные простые строго вещественные группы
§1 Строгая вещественность групп Р£2^п(д) в случае нечетной
характеристики поля
§2 Строгая вещественность элементов специального вида
§3 Доказательство теоремы

Глава
Введение
§1 Общая характеристика основных результатов работы
После объявления о завершении классификации конечных простых групп одной из основных задач в теории конечных групп стала задача изучения различных свойств известных конечных простых групп. Основной массив конечных простых групп составляют конечные группы лиева типа. которые делятся на 16 классов. Шесть классов составляют, так называемые, классические группы, и десять — исключительные. Изучению вопросов сопряженности, являющихся центральными в теории конечных групп и приложениях, в конечных группах лиева типа посвящена данная работа.
Подгрупповому строению конечных групп лиева типа посвящено множество работ различных отечественных и зарубежных авторов. Одними из важнейших подгрупп в конечных группах лиева типа являются, так называемые, редуктивные подгруппы максимального ранга. Они возникают естественным образом как факторы Леви параболических под-

групп и централизаторы полу простых элементов, а также как подгруппы, содержащие максимальный тор. Кроме того, редуктивные подгруппы максимального ранга играют важнейшую роль в индуктивном изучении подгруппового строения конечных групп лиева типа. Однако ряд важных вопросов о внутреннем строении редуктивных подгрупп максимального ранга до сих пор остается открытым. В частности, известно, какие квазипростые группы могут возникнуть как центральные множители полупростой части произвольной редуктивной подгруппы максимального ранга, но неизвестно, каким образом устроены нормализаторы этих квазипростых групп. Решению этой задачи посвящена первая часть данной работы. В частности, получена следующая теорема.
Теорема 1. Пусть (3 = С<7 — конечная универсальная группа лиева типа, где (3 — простая односвязная линейная алгебраическая группа и сг — автоморфизм Фробениуса. Пусть Я — редуктивная подгруппа максимального ранга группы (3 и Ь < Я — подсистемная подгруппа группы (3. Обозначим через Ф и Ф корневые системы групп С и Ь соответственно. Пусть е = +, если Ь — расщепленная группа и е — —, если Ь одна из групп 2Лп(д2), 2.Оп(д2); 2£^(д2)- Обозначим через д порядок базового поля подгруппы Ь (он может быть больше порядка базового поля группы (3).
Тогда справедливо одно из следующих утверждений.
(1) Ф = В2п, Ф = А2п-1, |Агйя(Ь) : Ь/г(Ь) = (п, д - е). Подразумевается, что в корневой системе Вп подсистема А порождается длинным корнем, а подсистема В порождается коротким корнем.
(2) ф = вп, ф - вп, |Аи*д(хо: ь/гщ = 1.
решеткой весов и в силу леммы 2.3.1(1) Сд(Ап,Ак) — полная решетка весов для любого к < п.
Тип Вп. Рассмотрим подробно этот случай, поскольку при его изучении мы сможем проиллюстрировать все способы нахождения индекса
Пусть V - евклидово векторное пространство размерности п; е,, еп — некоторый его ортонормированпый базис. Тогда фундаментальный набор корней {гі,..., гп} в V может быть выбран в виде {еі — е2, ■ ■., е„_і — е„,еп}. Рассмотрим расширенную диаграмму Дыикина для Вп
Из диаграммы видно, что все максимальные связные подсистемы имеют тип либо Вп_ 1, либо Вп. С точностью до действия элемента группы Вейля б„_ 1 = (г2, ...,гп),Вп = (-г0, ги ..., гп_х).
(1) Вп-1 < Вп. Покажем, что С2(Вп, Вп-) является полной решеткой весов. ТО есть существуют элементы 32,..., зп из <2{Вп), такие что (я4,Гд) = 5^, г,7 = 2,... ,п.
Действительно, пусть вь = ахй-Ь.. .+апгп (к — 2,..., тг; — кокорни корневой системы Вп) произвольный элемент из (^)(Вп). Для корневой системы Вп имеем Гг = Гг для всех г ф п и гп .г= 2г„. Тогда