О двумерно упорядоченных полях

• Автор: Фомина, Елена Анатольевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 69 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Список обозначений

Введение

Глава I. Основные понятия теории двумерно упорядоченных

полей

§ 1. Первоначальные определения теории двумерно

упорядоченных полей. Примеры

§ 2. Множество бесконечно близких к базе элементов

§ 3. Симметричные сечения в базе

Глава II. Основное тождество двумерно упорядоченного поля32

§1.0 двух функциях в двумерно упорядоченном поле

§ 2. Доказательство основного тождества теории двумерно упорядоченного поля
Глава III. Подполе В бесконечно близких к базе элементов
§1. Вспомогательные предложения
§2. Замкнутость множества В относительно сложения
§3. Симметрия множества В
§4. Критерий бесконечной близости к базе
§5. Множество В {0} как мультипликативная группа

Глава IV. Бесконечно узкие поля
§ 1. Некоторые конструкции бесконечно узких полей
§2. Критерий бесконечно узкого ПОЛЯ
Список используемой литературы
Работы автора по теме диссертации

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

г|2 — функция стандартной ориентации плоскости R
г| - стандартная функция порядка в поле F(i), где F есть произвольное линейно упорядоченное поле.
С, - функция двумерного порядка.
(Р, 'Q - двумерно упорядоченное поле.
Р0 - база двумерно упорядоченного поля.
/V = {г е Ро г > 0} - множество положительных элементов базы Pq.
Ра = {г є Р0 г < 0} - множество отрицательных элементов базы Pq.
Ри - верхний конус двумерно упорядоченного ПОЛЯ.

Ри ~ открытый верхний конус двумерно упорядоченного ПОЛЯ.
<„ - предпорядок в двумерно упорядоченном поле (по верхнему конусу).
>— предпорядок в верхнем конусе.
Р - правый конус двумерно упорядоченного поля.
< - предпорядок в двумерно упорядоченном поле (по правому конусу).
- непрерывное (топологическое) замыкание поля Р0.
В - множество бесконечно близких к базе элементов.
|/а(х) - функция, заданная в двумерно упорядоченном поле. ф(х) - функция, заданная в двумерно упорядоченном поле.
(А, С) - сечение в линейно упорядоченном поле.

2. <р
Таким образом, функция ф определена всюду на Ра].
Пример 2.1.1. В двумерно упорядоченном поле 11(а, г), где а -положительная бесконечно малая, рассмотрим подполе Р = <2(л + га).
Если
г}=Х] + г>] и г2 = х2 + г>2 е Р, то определения ф следует, что
ф(2[) < ф(22) О 2 < г2 <=> Х < х2.

Заметим, что тс + га е Ри (см. пример 1.2.1). Обозначим: а - п + га.
Заметим, что фа(а) = 1; ф(а) = %, Далее,
фДа2) = {г е Р0 | г(п + га) <и к2 - а2 + 2лаг} = (г- е Р0 I г < 2тг};
Ф/(а2) = {г е Р01 + га) >и 7Г2 - а2 + 2лаг'} = {г е Р0 | г > 2л}.
Значит, ф„(а2) = 2тс.
ф_(<22) = (т е Р0 | г < л;2 - а2 + 2лаг'} = {/ е Р0 | г < л2 - а2}; ф+(а2) = {г е Р0 I г > л2 - а2 + 2лаг'} = {геР0|'->л2-а2}.
Далее нам понадобится
Лемма 2.1.2. Пусть а - положительная бесконечно малая, г, г е й.
1. Если г < I, то г < Г — а.
2. Если г > t - а, то г > t.
Доказательство.
1. Так как г < то найдётся такой л- е Ы+, что / = г + л. Предположим, что г“ < г + а. Имеем:
г<г + в<г +а,
О < < а.
Получили противоречие с определением положительной бесконечно малой величины. Таким образом, г <1- а.