Конечные линейные группы, порожденные двумерными элементами

• Автор: Корлюков, Александр Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 84 c. : ил

СОДЕРЖАШЕ

ГЛАВА I. Основные понятия и методы

§1. Определения и обозначения

§2. Необходимые сведения из теории конечных

линейных групп

§3. Приводимые группы небольших степеней

ГЛАВА II. Группы, порожденные двумерными унипотентными

элементами

§4. Группы, порожденные квадратичными двумерными

элементами

§5. Группы, порожденные двумерными трансвекциями

ГЛАВА III. Условия полной приводимости в положительной
характеристике
§6. Анализ неприводимых примитивных линейных
групп небольших степеней
§7. Импримитивные и приводимые ]> -группы
§8. Некоторые ограничения на степени групп
Глава IV. Линейные группы, порожденные двумерными
элементами
§9. Случай двумерных элементов порядка больше трех
§10. Случай двумерных элементов порядка 3
Глава V. Квадратичные элементы порядка 4
§11. Описание конечных линейных групп, порожденных
квадратичными элементами порядка
ЛИТЕРАТУРА

Классификация конечных линейных групп, порожденных преобразованиями специального вида, относится к числу традиционных задач теории линейных групп /см. обзорную статью А.Е.Залесского Г4] , §§ II, 12
Назовем элемент ос , принадлежащий общей линейной'группе а(^Г) матриц порядка п. над полем Г , к -мерным элементом, если ранг матрицы ос - Ен. равен к , где Еп.
единичная матрица степени п.
Например, одномерными элементами являются отражения, псевдоотражения и, в положительной характеристике, еще и трансвекции. Конечные линейные неприводимые группы, порожденные одномерными элементами, к настоящему времени полностью описаны для любого поля р . /см. [4] , §12
В работах [28] , [29] , [33] получена классификация конечных
неприводимых линейных групп, порожденных двумерными элементами, в случае поля нулевой характеристики. Разработанные при этом методы существенно используют предположение о том, что характеристика поля Р равна 0.
Естественно возникает задача описания неприводимых линейных групп, порожденных двумерными элементами, над полем положительной характеристики.
Цель настоящей диссертации - классификация конечных неприводимых линейных групп над полем р характеристики > 7, порожденных двумерными элементами, которые не являются инволюциями. Ограничение на характеристику поля вызвано тем, что при малых Е возникает множество различных случаев, требующих отдельного рассмотрения.

Основными результатами диссертации являются теоремы 2, 3, 4,

В главе I диссертации приведены определения, обозначения, известные результаты. В §3 доказано несколько предложений, которые неоднократно будут использоваться в дальнейшем.
Введем некоторые соглашения, .связанные с терминологией. Двумерные элементы порядка 7- из группы SL(n, F) будем называть j)^. -элементами. Группу, порожденную двумерными элемента!®, будем называть J) -группой. Линейная группа G с- GL[V) называется Z -мерной, если пространство V размерности т. можно представить в виде прямой суммы неприводимого G -модуля размерности z и тривиального G -модуля размерности п. -Z.
Жорданову клетку размера К , соответствующую собственному значению 4, обозначим через . Элемент jc из группы
SLi^-jF) является трансвекцией, если он имеет следующую жорданову форму : Ек-л) . Элемент <х из группы SL(kF)
называется квадратичным, если степень его минимального полинома равна двум. Ясно, что жорданова форма квадратичного унипотентно-го элемента не содержит жордановых клеток размера к > 2.
Произвольный J)р -элемент / jh> = сЛ&и F / является матрицей одного из двух типов: либо его жорданова форма имеет вид Eh.-«) , либо - cUtxg^3; Ек-з) . В первом случае J)р -элемент является квадратичным.
Элементы с жордановой формой Еп.-з) будем называть обобщенными или двумерньи® трансвекциями.
Глава II посвящена изучению групп, порожденных J)p -элементами

Остается рассмотреть последний случай,когда группа С содержит подгруппу Н , изоморфную /■*) для некоторого
подполя ^ ПОЛЯ Р
Поясним, что группа 2, 81) реализуется как тензорное
произведение представлений группы 58 (<2,^0 - естественного и представления, полученного из естественного нетривиальным автоморфизмом Галуа поля /д . Поэтому нормализатор силов-ской -подгруппы и в группе Н будет содержать Т)к
элементы и будет приводиться к треугольному виду. Так как ^ > 7 , то к = > ,5" . Полученное противоречие со следствием 7.4.2 завершает доказательство предложения 7
§ 8 . Некоторые ограничения на степени групп.
В данном параграфе докажем несколько лемм, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем для получения противоречия в случае п >
8.1. Леша. Пусть £ ^ 58 ( П - неприводимая примитивная -группа, г > 3 , /э = Р > 1 . Предположим, что :
/I/ В группе £ есть некоторая -группа Н с условиями = 3 , сбс Vй - п
/2/ Если л: - -элемент группы £ , то либо
ос Ун = /н , либо группа < х, Н > является четырехмерной
/3/ Не существует 5-мерных -групп, содержащих
указанную в /I/ подгруппу Н Тогда Ш- 4