О циклических упорядоченных группах

• Автор: Забарина, Анна Ивановна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 90 c. : ил

ВВЕДЕН®

Актуальность теш

В различных областях математики находят приложение алгебраические системы, на которых задано некоторое отношение порядка, согласованное с алгебраической структурой. Теория упорядоченных систем является важным разделом современной алгебры. Крупный вклад в развитие этого раздела внесли Д.Гильберт, Г.Нейман, Г.Биркгоф, А.И.Мадьцев, Е.Артин, О.Шрайер, Р.Бэр, Х.Хан, А.Робинс он и др. (см., например, [4], [13], [21], [25] ).
Одним из объектов изучения в теории упорядоченных алгебраических систем является класс упорядоченных групп. Наиболее детально изученными являются линейно и решеточно упорядоченные группы ( [4], [5], [28] ). Отметим, что в значительной степени интерес к линейно упорядоченным группам первоначально стимулировался тесной связью архимедовски линейно упорядоченных групп с аддитивной группой вещественных чисел, установленной теоремой Гельдера [23].
Аналогичным образом, рассмотрение мультипликативной группы комплексных чисел приводит к понятию циклически упорядоченной группы; наиболее известным примером циклически упорядоченной группы является тороидальная группа [18]. Различные свойства циклически упорядоченных групп изучались в ряде работ, в том числе в [2], [26], [29], [30], [33]. Была исследована связь между линейно и циклически упорядоченными группами. В частности установлено, что каждую линейно упорядоченную группу можно циклически упорядочить, а каждая циклически упорядоченная группа может быть получена специальным образом из некоторой линейно упорядоченной [29]. Исследовались также топологические свойс-

тва циклически упорядоченных групп [33].

Введение понятия УЬ - мерного порядка позволяет рассматривать линейно и циклически упорядоченные группы с единой точки зрения. Распространению понятия упорядоченности на УЬ - мерный случай посвящены работы [8 - II], [15], [16],[27]. В [9], [14] с помощью аппарата 2-мерного порядка проводится изучение 2-упо-рядоченных полей.
В настоящей работе предложена аксиоматика У1 -мерно упорядоченных и У1- мерно циклически упорядоченных групп, исследованы простейшие их свойства., приведены примеры. Подход к циклически упорядоченным группам как к двумерно упорядоченным системам, позволяет глубже изучить их внутреннюю структуру, в частности, ввести понятие верхнего конуса циклического порядка.
В различных разделах алгебры часто используются теоремы вложения Г3], [28]. Нагли получены теоремы вложения для групп с линейно упорядоченным нормальным делителем, в частности, найдено усиление теоремы Сверчковского [30] для циклически упорядоченных групп. Найден также теоретико-групповой критерий циклической упорядочиваемоети групп.
Цель работы
1. Построить элементы теории УЬ -мерно циклически упорядоченных и У1 -мерно упорядоченных групп. Исследовать класс локально конечных групп, допускающих УЬ - упорядочивание.
2. Используя аппарат уь- мерного порядка, изучить внутреннюю структуру циклически упорядоченных групп. В частности, ввести понятие верхнего конуса циклического порядка, рассмотреть вопросы факторизации циклически упорядоченных групп, способы продолжения циклического порядка в группах.

3. Исследовать вопросы о вложении для некоторых классов групп с линейно упорядоченным нормальным делителем.
4. Получить критерий циклической упорядочиваемости группы.
Краткое содержание работы
Работа состоит из введения и трех глав.
В главе I рассматривается обобщение понятия циклически упорядоченного множества и циклически упорядоченной группы. Прежде всего, вводятся основные определения и обозначения.
Пусть УЬ е//, X - произвольное непустое множество и
- антисимметричная функция. Множество Ш назовем невырожденным в ОС, ^ , если существуют у-4 ,
У г, ... %п>1, € у такие, что Цп,
Определение. Множество 0- с X } £={ йл., ССц,... (Хп,} называется гранью в <Х, если существует элемент а еХ , для которого ^(9-, Сс) ~ (Хп., а)ФО . Грань &■ называется (строго) внешней гранью в <Х> £■>, если ^ (£,#>= ^(£>у)фО).
Все элементы внешней грани называются внешними точками в <(Х, ^ [Ю].
Замечание. Через Хц , 9-я , £>с и т.д. будем обозначать линейно упорядоченное множество из К элементов: 0сл),
Определение. Пару {X, назовем УЬ - упорядоченным множеством, если функция ^ удовлетворяет следующим условиям:
С1. Если на Хп^г^Х 3 0 » то в <Хм+г^> существует,
по крайней мере, две внешних грани.
С2. Если Хп сХ , а, £, с еХ и ^(Уп,сС)=
^ {Хп-а, О- > £)■= СХк-4, с)-1, то ^ СХп-л, а.,е)= i (аксиома транзитивности).
СЗ. Пусть £сХ > £п - грани в

где е .По определению 2.5.1 ($2.~±с1± е-// , что
влечет с1*.Н ~ с1х*Н . Пришли к противоречию.
Итак, импликация (5.3) справедлива.
Аналогично, доказывается справедливость импликации
/б (СсАц-е, я'л) —^ (Хг.к)') - (5.7)
Остается заметить, что формула (5.2) непосредственно вытекает из (5.3) и (5.7).
Положим ( с!ц 4> Н, е. И ) (оИ'*И, И, с ). Все остальные свойства циклического порядка на £•//-/ имеют место в силу
их выполнения на группе £ . Предложение доказано.
Следуя ( [ 4 ] , с. 17), введем следующее определение 36 - гомоморфизма для циклически упорядоченных групп.
Определение 2.5.4. Пусть и - циклически упорядоченные группы с функциями порядка и)± и и)*. , соответственно. Гомоморфизм ^ первой группы во вторую назовем К - гоморфизмом, если ^ (££") с
По аналогии с линейно упорядоченными группами напрашивается предположение, что ядро оС - гомоморфизма является оС - выпуклым нормальным делителем. Однако, следующий пример показа-вает, что, в общем случае, это не так.
Пусть , где •
Известно, что группы 9-± и 9-х можно циклически упорядочить. Рассмотрим отображение 9-±— £■& такое, что ./(&)- <^г • Имеем Ср-(С1}1г)-е7 $(С1*пн)- £г) . Таким образом, является £ - гомоморфизмом группы 4 &£> в группу *,и>Х> .
Однако, { ^“Уе)]г не является 56 - выпуклой подгруппой группы (г!
Найдем условие, при котором ядро 26 - гомоморфизма является 26 - выпуклым нормальным делителем.