Алгебраическая теория пар Белого

• Автор: Дремов, Владимир Александрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 81 с. : ил.

Оглавление

Введение
Глава 1. Комбинаторные вопросы
1.1. Представления, порядки и методы перебора
1.2. О перечислении рисунков
1.3. Деревья заданного комбинаторного типа
Глава 2. Алгебраические системы и методы их построения
2.1. Деревья заданного комбинаторного типа
2.2. Обобщенная антивандермондова система
2.2.1. Основные объекты
2.2.2. Трансверсальность пересечения в непаразитическом
случае
2.2.3. Об изменении свойств системы при малом изменении параметров
2.2.4. Комбинаторный смысл решений ОАВ
2.3. Дивизориальные рассмотрения: слои над якобианом
2.4. Случай гиперэллиптических кривых
2.4.1. Нормировки для гиперэллиптических пар Белого
2.4.2. Инварианты Игузы кривых рода
2.5. Рисунки на неособых квартиках
2.6. Общая система для пар Белого (в плоской модели кривой)
2.6.1. Исходная постановка
2.6.2. Параметры системы
2.6.3. Условия гладкости
2.6.4. Проекция из ’общей’ точки (Д : Д : 1)
Глава 3. Вычисления пар Белого
3.1. Общие вопросы нормировки
3.1.1. Нормировка торических рисунков
3.2. Методы редукции

3.3. Конкретные результаты
3.3.1. Набор валентностей < 5, 5,3, 3 || б, 6,1,1,1,1 >
3.3.2. Набор валентностей < 5,4 | 3,3,3 | *(д — 0) >
3.3.3. 3-валентный рисунок с валентностями граней 10,4,2,1,1 .
3.3.4. 3-валентный рисунок с валентностями граней 13,2,1,1,1 .
3.3.5. 3-валентный рисунок с валентностями граней 8,4,3,2,1 .
3.3.6. 3-валентный рисунок с валентностями граней 8,5,2,2,1 .
3.3.7. Набор валентностей < 5,3 11 7,1 >
3.3.8. Деревья малых степеней и теорема Везу
3.3.9. Набор валентностей < 6, 6, 2,2 || 5,5, 2, 2,1,1 >
3.3.10. Цикл длины 2 с петлями наружу
3.3.11. Игра Белого на плоской квартике
Литература

Введение
Актуальность темы диссертации. В 1979 году Г.В.Белый доказал в статье [3] теорему о том, что на любой алгебраической кривой, определённой над полем <0>, существует хотя бы одна непостоянная функция с тремя критическими значениями. Более того, существование такой функции - это критерий определённости кривой над (Ц). Сейчас такие функции с не более чем тремя критическими значениями принято называть функциями Белого.
Определение 1. Пара Белого - это пара, состоящая из полной неприводимой гладкой комплексной алгебраической кривой и рациональной функции на этой кривой, имеющей не более чем три критических значения (функции Белого).
В 1984 году Гротендик ввёл понятие детского рисунка и сформулировал план исследований в своём ’’Наброске программы” (опубликован в 1997 году [7]).
Определение 2. Детский рисунок — это граф, вложенный в поверхность так, что дополнение к его образу гомеоморфно несвязному объединению открытиях дисков.
В данной диссертации всегда рассматриваются, если специально не оговорено обратное, двудольные двукрашенные детские рисунки (см. определение 3). Оказалось, что хотя структура рисунка полностью определяется простыми комбинаторными данными (например, парой перестановок), но в то же время рисунки тесно связаны с парами Белого. С одной стороны, прообразом отрезка комплексной плоскости, соединяющей два критических значения функции Белого, будет детский рисунок. С другой стороны, по рисунку можно построить соответствующую ему пару Белого. На самом деле, эта связь является очень точной. В диссертации [1] Г.Б.Шабат доказал теорему об эквивалентности категории детских рисунков и категории пар Белого с занумерованными критическими значениями (с соответствующим образом введенным понятием морфизма). Существуют точные эквивалентности в следующих двух случаях: во-первых, все пары Белого и двудольные рисунки, во-вторых, все рисунки и пары Белого,

вая может быть приведена в гиперэллиптической форме, как z2 = уб _ 6уз _ з
Формулы для инвариантов в статье даны в двух видах: через коэффициенты многочлена Р в уравнении кривой вида у2 = Р(х), где Р - многочлен степени 5 и через симметрические функции корней многочлена.
Утверждение 9. Значения инвариантов Игузы для кривой, заданной уравнением у3 = - yjf1", и для изоморфной ей кривой, заданной уравнением z2 — у0 — 6у3 — 3, имеют следующий вид:
8 аффинных координат рассмотренной кривой - это
'ІЗ5 13329 13-292 7-11-132 7-11-29 7311313 295 75115'
—: 32 > ‘ 33 ’~ 34 > 35 ’ 311 ’ “37"5
Значения Jio таковы: [13, у, — ^рг, — ^рр, 3], в дробях j|
jt, у£ сокращений не происходит.
Инварианты Игузы полезны, например, в том случае, когда мы хотим понять, лежат ли данные два рисунка рода 2 на изоморфных алгебраических кривых или на неизоморфных.
2.5. Рисунки на неособых квартиках
Интересно изучать особое семейство квартик, а именно те, для которых существует пара касательных в точках перегиба, пересекающаяся на квартике. В инвариантных терминах это означает, что разность двух точек Вейерштрасса является точкой 3-го порядка.
Среди них естественно различать два типа квартик:
а) квартики, для которых обе отмеченные касательные в точках перегиба пересекают квартику в 2 точках. К таким относится квар-тика
Xі — За;3 + За;2 — х — уъх — у — 3 у3 + 3 у2 + у4 = О
б) квартики, которые с одной из таких касательных пересекаются в единственной точке; одна из таких квартик определяется уравнением