Представления и инварианты унитреугольной группы

• Автор: Севостьянова, Виктория Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 107 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Поле инвариантов присоединенного действия уни-треугольной группы на нильрадикале параболической подалгебры
1.1. Основные определения
1.2. Другое определение инварианта
1.3. Вспомогательные утверждения о строении обобщенной базы
1.4. Система корней Т и главные миноры
1.5. Канонические матрицы на IV-орбитах общего положения . 45 Глава 2. Алгебра инвариантов присоединенного действия
унитреугольной группы на нильрадикале параболической подалгебры
2.1. Алгебра инвариантов в случае двух блоков
2.2. Дополнительная серия А-инвариантов
2.3. Алгебра инвариантов в случае (2, к, 2)
2.4. Алгебра инвариантов в случае (1, 2, 2,1)
Глава 3. Структурные вопросы алгебры инвариантов
3.1. Конечная порождённость алгебры инвариантов
3.2. Свободность алгебры инвариантов
Список литературы

Введение
Теория инвариантов сформировалась как самостоятельная алгебраическая дисциплина почти два века назад под влиянием ряда задач геометрии, алгебры и теории чисел. Еще в ХХ-м веке она оказала большое влияние на развитие многих разделов алгебры, таких как алгебраическая геометрия и теория представлений. В настоящее время теория инвариантов имеет обширные приложения и служит основой многих исследований в коммутативной алгебре, гомологической алгебре, теории алгебр и групп Ли, теории представлений алгебраических групп, алгебраической геометрии.
Основной задачей теории инвариантов принято считать проблему построения образующих алгебры инвариантов произвольной алгебраической группы, действующих на аффинном алгебраическом многообразии, нахождение определяющих соотношений между этими образующими, указание канонических представителей орбит. В настоящее время, наряду с этими вопросами решаются задачи вычисления стабилизаторов, изучение алгеброгеометрических свойств самих орбит и их взаимного расположения, построение различного рода "сечений" и "факторов". Для того, чтобы явно описать все инварианты заданной алгебраической группы достаточно указать систему образующих алгебры инвариантов. Задача отыскания системы образующих произвольной группы сводится к вопросу о конечной порожденности алгебры инвариантов. В 1890 г. Гильберт доказал теорему конечности для

алгебры инвариантов действия редуктивной линейной группы (см. [Н] или обзоры [УР],[К],[Эр],[М]).
Для нередуктивных линейных групп проблема конечной порожденности алгебры инвариантов не имеет удовлетворительного решения и представляется чрезвычайно трудной. Ключевым моментом в ее решении является случай унипотентных групп. Действительно, пусть С С ДЦУ) — алгебраическая линейная группа и С/ — ее унипотентный радикал. Тогда если алгебра ку]и конечно порождена, то и алгебра к[У]Ст конечно порождена [Л/Р]. В 1958 г. Нагата построил [И],[811] пример унипотентной группы, алгебра инвариантов которой не является конечно порожденной. Вопрос о том, является ли алгебра инвариантов для произвольной алгебраической линейной группы конечно порожденной, называется 14-й проблемой Гильберта (сам Гильберт, правда, сформулировал ее в 1900 году иначе [РН[, но после появления контрпримера Нагаты она стала рассматриваться именно в такой форме). В более широкой постановке 14-ую проблему Гильберта рассматривают как проблему конечной порожденности алгебр инвариантов произвольных действий алгебраических групп на аффинных многообразиях. В этом плане интересен результат В.Л. Попова [Р], являющийся в некотором смысле обращением теоремы конечности Гильбсрта. Некоторые положительные результаты по 14-й проблеме Гильберта получил Гроссхане [01]. Оказалось, что вопрос о конечной порожденности алгебры инвариантов некоторой подгруппы Н редуктивной группы С на векторном пространстве сводится к вопросу о конечной порожденности алгебры к[С/Н]. В работе [Нс1] Д. Хаджиев показывает, что когда Н — максимальная унипотентная подгруппа связной алгебраической группы С и С-алгебра конечно порождена, алгебра инвариантов действия группы Я также конечно порождена. Также можно отметить результат Вайценбёкка [V] о конечной порожденности любой одномерной унипотентной линейной группы.

базы. Чтобы доказать теорему в первом случае, мы введем понятие главного минора (определение 1.4.5) и определим некоторые системы корней Ф и Т (обозначения 1.4.1 и 1.4.10 соответственно). Начиная с этого момента всюду в данном параграфе мы предполагаем, что параболическая подалгебра р такая, что в п-м столбце лежит корень из 5. Обозначим его (т,п). Возьмем номер т т, такой, что (т,п) € 5 и Ф и если г < т, то (г,п) 5 и Ф. В силу леммы 1.3.8 и следствия 1.3.3 существует ровно г корней из 5 вида
(т + г - 1, /т), (то + г - 2,12)
ДЛЯ некоторых 1 < 12 < < 1Г — П.
Изобразим графически часть диаграммы для т, содержащую эти корни.
2 1|._] — 77.

771 + Г — 2 777, + Г
Рассмотрим всевозможные цепочки корней из обобщенной базы, содержащие корни (г,), где 771 г < 771 + Г И € {ктЬ, Лт}- Выберем среди них цепочки, удовлетворяющие условию: если (а, Ь) — корень такой цепочки и при некотором к 1 верно Як < а Як+1, то
а г + Як. (1.9)
Обозначение 1.4.1. Множество всех корней, входящих в такие цепочки, обозначим через Ф.

Диаграмма