Частичные порядки групп

• Автор: Зенков, Алексей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Барнаул
• Количество страниц: 51 с. : ил

Содержание
Введение
ГЛАВА 1.Частичные порядки группы Лн£11-27 §1. Минимальные частичные порядки АиЩ
§2. Максимальные частичные порядки
нормальных подгрупп группы АиЬ
Глава 2. Группы Длаба
§1. Линейные порядки групп Длаба Д?*(I), 72# *
§2. Группы Длаба 12# (I), 72*я(1), Ап, 72*#
§3. Группы Длаба и многообразия ^-групп
ГЛАВА 3. Мощности множеств правых порядков
§1. Мощности множеств правых порядков локально
индикабельных групп
Литература
Введение
Теория частично упорядоченных групп, то есть групп на которых введено отношение частичного порядка, устойчивое относительно группового умножения, является одной из обширных и интенсивно развивающихся областей теории групп. В настоящее время изучение частично упорядоченных групп ведется по следующим основным направлениям: линейно упорядоченные группы, решеточно упорядоченные группы и правоупорядоченные группы.
Исследование групп, допускающих порядок, является одной из важнейших задач теории частично упорядоченных групп, так как введение порядка возможно далеко не всегда и предполагает наличие у группы определенных свойств. Одним из важных и интересных направлений исследований частично упорядоченных групп является описание частичных порядков групп. В этом направлении Б.Нейманом (см.[1], с.306, проблема 18 (а), (с)) для упорядочиваемых групп были сформулированы следующие вопросы: 1) Если число линейных порядков на упорядочиваемой группе конечно, должно ли оно быть степенью числа 2? А если оно бесконечно, должно ли оно быть степенью числа 2? 2) Что представляют из себя упорядочиваемые группы с конечным числом линейных порядков? Пример, опровергающий гипотезу
1), был найден М.И.Каргаполовым, А.И.Кокориным, В.М.Копытовым в [2]. Группы с конечным числом линейных порядков изучались В.М.Копытовым в [3] и Н.Я.Медведевым в [4]. В.Длабом [5] показано, что существуют неабелевы простые группы с двумя линейными порядками. В [6] В.В.Блудовым приведен пример неабелевой группы, допускающей два линейных порядка и не являющейся простой. Аналогичные вопросы рассматривались также и для правоупорядочиваемых групп. Оказалось, что группа с двумя правыми порядками является подгруппой аддитивной группы рациональных чисел (С.А.Тодоринов, Н.Л.Петрова [7], В.М.Тарарин [8]). В.М.Тарариным [8] получено полное описание групп с конечным числом правых порядков, показано, что если число правых порядков конечно, то оно является степенью числа 2 и для каждого натурального числа п найдены группы с 2п правыми порядками.
Доказательство Ч.Холландом [9] теоремы о том, что всякая решеточно упорядоченная группа имеет точное представление автоморфизмами подходящего линейно упорядоченного множества, позволило систематически привлекать к изучению решеточно упорядоченных групп технику работы с группами автоморфизмов линейно упорядоченных множеств. Группы порядковых автоморфизмов линейно упорядоченных множеств изучались Ч,Холландом в

[9], [ lOj, [11], А.Глассом в [12], [13], С.Макклири в [14], [15].
Современное состояние теории частично упорядоченных групп достаточно полно отражено в монографической литературе (см. В.М.Копытов [16], В.М.Копытов. Н.Я.Медведев [17], В.М.Копытов, Н.Я.Медведев [18], М.Дарнел [19], А.Гласс [20],[21].
Напомним определения и вспомогательные результаты, необходимые в дальнейшем.
Группа G называется частично упорядоченной, если на ней введено такое отношение частичного порядка <, что для любых x,y,z,t € G неравенство х < у влечет неравенство txz < tyz. Если порядок линеен, то G называется упорядоченной группой, если порядок решеточный, то G называется реше-точно упорядоченной группой (Агруппой). Как обычно Р = {д £ G | д > е}. Очевидно, что Р обладает следующими свойствами:
1) Р • Р С Р (Р- полугруппа),
2) Pf] Р~1 = {е} (Р- чистое множество),
3) х~г ■ Р • х С Р для любого х € G (Р- инвариантное множество).
Верно и обратное утверждение. То есть, если в группе G есть множество Р со свойствами 1)-3), то на G можно ввести отношение частичного порядка при котором Р будет множеством положительных элементов G. Таким образом частичный порядок можно отождествить с чистой инвариантной полугруппой. Как обычно (G, Р) означает, что группа G упорядочена относительно порядка Р.
Группа называется упорядочиваемой (правоупорядочиваемой), если она может быть превращена в упорядоченную (правоупорядоченную) группу. Хорошо известно (см., например, [16], [18]), что класс всех упорядочиваемых (всех правоупорядочиваемых) групп является квазимногообразием. Группа G называется локально индикабелыюй, если ее каждая неединичная конеч-нопорожденная подгруппа имеет неединичный гомоморфный образ на аддитивную группу целых чисел. Класс всех локально индикабельных групп совпадает с классом конрадовых правоупорядочиваемых групп, то есть групп, обладающих полной, субнормальной и линейно упорядоченной по включению системой подгрупп, факторы которой - абелевы группы без кручения ([18], с. 187).
Решеточно упорядоченную группу G (Агруппу) можно рассматривать как алгебраическую систему сигнатуры £ = (-,-1, е, V, Л). В этой сигнатуре стандартным образом вводятся понятия тождества и многообразия Агрупп. Множество L всех многообразий Агрупп является полной решеткой по включе-

Теперь определим функцию (ж)/ по правилу
( ? _ Г х> если х £ (А/О*?
I (ж)/а? если Ж 6 (Ув1<4) = (Ьа,Са)(р
По определению, функции (ж)/ и (ж)/ имеют одинаковые базисные характеристики. Поэтому они сопряжены В группе Дя* и (ж)// > ж для любого х > Ь. Таким образом группа М содержит простой элемент // и поэтому М = Дя*- Следовательно, фактор-группа £>я*/-Дя проста. Дальнейшее доказательство аналогично доказательству предложения 2.1.6. □
Объединяя результаты предложений 2.1.6,2.1.8 получаем теорему.
Теорема 2.1.9. Для любой подгруппы Н ранга 1 мультипликативной группы положительных действительных чисел каждая из групп Он*, Дн*(1) не содержит нетривиальных нормальных относительно выпуклых подгрупп, имеет в точности два различных линейных порядка и не является простой группой.□
§ 2. Группы Длаба Дя(1), Дя(1), Д?, Я*я
В книге [20] (стр. хуш) отмечено, что группа Длаба Дя(I) имеет только 2 различных порядка. Следующее утверждение показывает, что на самом деле порядков в два раза больше.
Предложение 2.2.1. Для любой подгруппы Н ранга 1 мультипликативной группы положительных действительных чисел группа Ая(1) допускает в точности четыре различных линейных порядка.
Доказательство. В [5] доказано, что Дя(1)/Яя*(1) — Н. Поскольку Я -абелева группа ранга 1, то она имеет только 2 линейных порядка. По Теореме 2.1.9 группа Дя*(1) также допускает два порядка. Поэтому группа Дя(I) допускает не менее четырех различных порядков. Покажем, что группа ДДI) допускает в точности четыре различных линейных порядка.
Для этого достаточно показать, что при любом упорядочении группы Яя(I) любой элемент не лежащий в Дя*(1) много больше любого элемента из Дя*(1)- Предположим, что это не так. То есть существует линейный порядок Р на группе Дя(1) и элементы / е ДДI) Ая*(1), д € Дя*(1) такие, что / << д или / ~ д. Рассмотрим первый случай.
Можно считать, что к] > 1 и ад лежит в некоторой достаточно малой правой окрестности нуля. Тогда точка адЩ1 будет первой точкой излома функции (ж)/д{~1 и, следовательно, /д/“1 >> д. Так как / << д, то /с?/-1 ~ д и мы получаем противоречие.