Схема модулей стабильных пучков ранга 2 с малыми классами Черна на трехмерной квадрике

• Автор: Уваров, Артем Дмитриевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 82 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Компактификация многообразия модулей
М(э( —1,2) СТАБИЛЬНЫХ РАССЛОЕНИЙ РАНГА 2 НА ТРЕХМЕРНОЙ КВАДРИКЕ
1.1. Предварительные сведения и обозначения
1.2.Вычисление пучка относительных £х£ов
Т = £хг)(1г<х(0,0,0,1),0х)
1.3. Описание многообразия XV, параметризующего
пучки из М(—1,2)
Глава 2. Модули стабильных пучков ранга 2 с классами Черна сх = -1, с2 = 2, с3 = 0 на трехмерной квадрике
2.1.Введени е
2.2. Пучки из М с нульмерными особенностями
2.3. Пучки из М с одномерными особенностями
2.4. Доказательство теоремы 2.1.1. Монады для пучков
из М
2.5. Приложение: о свойствах рефлексивных пучков ранга
на ф с малыми классами Черна
Глава 3. Неприведенность компоненты вдоль М2
3.1. Введение
3.2. Вычисление размерностей групп Ех11(£, Е) иЕх!2(£,£)
Литература
Введение
Актуальность темы
Стабильные векторные расслоения на алгебраических многообразиях являются одним из центральных объектов
алгебраической геометрии. Наиболее хорошо изучены свойства
пространств модулей стабильных расслоений для малых размерностей один и два базы, то есть когда базовое многообразие расслоения является алгебраической кривой или поверхностью. В случае многообразий высших размерностей геометрия пространств модулей стабильных расслоений уже значительно сложнее и более или менее изучена лишь для некоторых специальных классов многообразий. В последние годы возрос интерес к изучению
стабильных расслоений и, более общо, полустабильных когерентных пучков ранга > 2 без кручения на трехмерных многообразиях Фано. Традиционно свойства таких пучков изучались с середины 70-х годов на проективных пространствах Р„, п > 3, (см., в частности, работы [4], [5], [6], [8], [14], [27], [18], [29], [7], [9], [17], [22], [23]).
Первые работы по описанию расслоений на многообразиях Фано относятся к концу 80-х - началу 90-х годов прошлого века (см. [19], [24]). Описанию некоторых общих свойств
многообразий модулей расслоений ранга > 2 на трехмерных
многообразиях посвящена работа А. Н. Тюрина [21]. В ней,
в частности, выясняется взаимосвязь между многообразиями модулей расслоений на многообразиях Фано и на К3- поверхностях - гиперплоских сечениях многообразий Фано, осуществляемая операцией ограничения.
Более детальное изучение геометрии пространств модулей расслоений на многообразиях Фано, близких к Р3, началось в конце
Предложение 1.3.3. Морфизм <р : IV —* М: -ш н-> (Е [!ихд (—1)] является структурным морфизмом проективизации векторного расслоениея ранга 2 на М со слоем Р(Я°(£(1))) над произвольной точкой [5] Є М.
Доказательство. Прежде всего, М есть тонкое многообразие модулей, поскольку М С М' Мд(2;—1,2,0), а М1 является
тонким многообразием модулей. Докажем последнее утверждение. Пусть 5(В) = НОД(а.о,ах
1. Имеем Н(т) = Е”=0оіС+і = (а0 + аі + а2 + аз) +
За2 11а3 /а2 2 . «з3 п
Й1 + — + I ТП + [~ + а,) ТП + ——. С другой стороны,
используя известную формулу для ЯДто) [15, р. 194], получим: Я(ш) = х(£(т)) = (1 ~ с2) = (| — с2)т + 2т2 + |т3. Отсюда ао = —10, а-і = 9,а2 = —4, аз = 4. Тем самым, НОД(а<), аі, а2, а3) = 1. Так как сі(£) = —1 для [£] € Л/д3(2;—1,2,0), то согласно [14, р. 598] универсальное семейство стабильных пучков на М' х £} существует, поскольку 6(В) = 1.
Тем самым, существует универсальный пучок Е на <3 х М. Рассмотрим проекцию рг : ( х М М и определим пучок Л/' := рг*(Е ® {Ос}(1) 13 О л)). Заметим, что для любой точки у Є М имеем Я°(Е|дХ!,(1) = 2, Я1(Е|дХу(1)) = 0, а М является целой схемой (см. [15, р. 217]. Отсюда следует, что отображение замены базы ЛҐ ® ку -> Я°(Е|дху(1)) = к2 для любого у € Ж является изоморфизмом (см. [28, р. 368]), так что N - локально свободный пучок ранга 2 на М. Рассмотрим проективизацию этого пучка л : Р{М) = РгоДЛР') —► М. Тогда слой л-1 (у) равен Р(Я°(Е|дхг/(1))), и отсюда следует, что Р{М) := {(у, < 5 >) | у Є М, < в >Є Р(Е|дхц(1))}. В силу того, что IV - база универсального