Группы, насыщенные прямыми произведениями конечных групп

• Автор: Шлепкин, Алексей Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 80 с.

Оглавление
Введение '
1 Известные факты и вспомогательные утверждения
2 Группы, насыщенные прямыми произведениями различных групп
2.1 О периодической части группы Шункова, насыщенной прямыми произведениями конечных элементарных абелевых 2-групп
и групп 1/2(2п)
2.2 Группы Шункова, насыщенные прямыми произведениями линейных групп размерности два на циклические группы
2.3 Группы, насыщенные прямыми произведениями конечных простых неабелевых групп
3 Периодические группы, насыщенные сплетенными группами
4 Группы, представимые в виде объединения конечного числа смежных классов
5 Подгруппы свободной двупорожденной группы периода пять 64 Литература

Введение
Актуальность темы. За последние два десятилетия в теории групп получило развитие направление связанное с понятием насыщенности [30].
Пусть X — некоторое множество групп. Группа G насыщена группами из X (или насыщена множеством X), если любая конечная подгруппа из G содержится в подгруппе группы G, изоморфной некоторой группе из X.
В первоначальных исследованиях периодических групп с условием насыщенности предполагалось, что X - некоторое множество конечных простых неабелевых групп. Это привело к постановке вопроса 14.101 в Коуровской тетради [10]:
Верно ли, что периодическая группа, насыщенная конечными простыми группами лиева типа, ранги которых ограничите в совокупности, сама является простой группой лиева типа конечного ранга?
При решении этого вопроса возникла необходимость характеризации групп, насыщенных прямыми произведениями конечных групп. А.К. Шлёп-кин в [33], изучая периодическую группу G, насыщенную конечными простыми группами Re(3"), вначале рассматривал централизатор инволюции х из G. Как оказалось, Cg(x) насыщен прямыми произведениями конечных групп вида L2(3”) х Zi, где Zi — группа порядка два. Используя этот факт, удалось показать, что Cg{x) — Л2(<Э) х Z2, где Q — локально конечное поле характеристики три, а затем и доказать требуемый изоморфизм G ce Re(Q). Кроме того, как показали С.В. Иванов [40] и И.Г. Лысенок [17], бернсай-довы группы В(т,п) достаточно большого четного периода п не локально

конечны и насыщены прямыми произведениями групп диэдра, взятых в конечном числе, причем число множителей прямого произведения может быть сколь угодно большим. Далеее, Б. Амберг и Л.С. Казарин [36] доказали, что периодическая группа, насыщенная группами диэдра, локально конечна. Таким образом, актуален общий вопрос о локальной конечности периодической группы, насыщенной прямыми произведениями различных конечных групп.
Группы, насыщенные прямыми произведениями конечных групп, изучались А.И. Созутовым, К.А. Филипповым, В.Д. Мазуровым, Д.В. Лыткиной, Д.Н. Панюшкиным [18-20,22-24,27].
В обзоре [16] приведена библиография работ, в которых исследовались группы с условием насыщености, в частности, группы, насыщенные прямыми произведениями конечных групп, и сфорулированы основные проблемы, связанные с изучением групп, насыщенных группами из заданного множества групп.
В 1954 году Б. Нойман опубликовал работу [41], в которой, в частности, доказал свою знаменитую лемму о том, что если группа покрывается конечным числом смежных классов по нескольким подгруппам, то индекс одной из этих подгрупп конечен. В том же году в [42] Б. Нойман специально рассмотрел вопрос о покрытии групп конечным числом п смежных классов и показал, что в случае, когда такое покрытие является несократимым, все участвующие в нем подгруппы имеют конечные индексы, ограничив сверху эти индексы функцией, зависящей только от п (теорема Ноймана).
Значение этих результатов Ноймана в исследованиях групп, насыщенных прямыми произведениями конечных групп, связано с тем, что они гарантируют существование в группе нормальной подгруппы конечного индекса при условии, что группа обладает конечным покрытием. Д.В. Лыткина и К.А. Филиппов в [18] исследовали периодическую группу б, насыщенную множеством прямых произведений конечных групп вида Аг(рп) х Еч- В том случае, когда С? содержит нормальную нетривиальную подгруппу, (7 ~ х ^2>
то и вся группа лежит в В. Лемма доказана.
Пусть М — конечная простая неабелева группа, 3 — множество конечных групп Мк, являющихся прямыми произведениями конечного числа групп Аг, і = 1,к, причем каждая Аг изоморфна М:
3 = {МкМк = Ах х А2 х ... хА,х ... х Ак,і = 1 к = 1,2,...}
и Аг ог М для любого г. Таким образом, множество 3 состоит из всевозможных прямых произведений конечного числа групп Аг, каждая из которых изоморфна М. Очевидно, что бесконечная прямая степень Р группы М, т.е. прямое произведение бесконечного числа групп, каждая из которых изоморфна М, насыщена множеством ф
Теорема 3. Существует счетная группа, насыщенная множеством Т и не изоморфная Р.
Доказательство. Рассмотрим группу С і = П^і А і являющуюся прямым произведением счетного числа групп Вг ~ М. Ясно, что группа С насыщена множеством ф
Лемма 14. Пусть N1 — конечная подгруппа из О і, тогда существует конечная подгруппа N2 Є С, такая, что ~ М и N1 х N2 — подгруппы группы С.
Доказательство. Пусть х Є Лф По условию насыщенности /V] С Л — Мк с Лийс Сь Тогда можно считать, что Д = В х... х Вк- Следовательно, И х Вк+ — требуемая группа. Лемма доказана.
Теперь рассмотрим группу являющуюся декартовым
произведением счетного числа групп В, ~ М. Положим Р(п, к) = {(е,...,е,<рк(а),е,...,е,е,...,е,ірк+п(а),е,...,е,...)а Є М}). Здесь <рт — изоморфизм М на Вт, 1 < к < п. Таким образом, группа Р(п, к) состоит из