Формы и представления колец Ли

• Автор: Ющенко, Александр Викторович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Омск
• Количество страниц: 53 с.

Основные обозначения
Глава 1. Представления колец Ли и б12(Ър)
Глава 2. Строение Z^,-фopм алгебры Ли (0.р)
Глава 3. Условия диагональности Z^,-фopм и
максимальные диагональные идеалы
§1. Условия диагональности Ур-формы
алгебры Ли 5^2 (0Р)
§2. Максимальные диагональные идеалы
Ър-форм алгебры Ли Б^^р)
§3. Описание диагональных форм алгебр Ли
б12(<01р) и б12(0)
Литература

Описание простых конечномерных алгебр Ли над полем всех комплексных чисел было начато в работах С. Ли и завершено В. Киллингом. Переход к описанию простых алгебр Ли над полем вещественных чисел (т.е. описание вещественных форм простых алгебр Ли) — очень старая проблема, полное её решение было дано Э. Картаном в 1914 г. Описание форм простых алгебр Ли над произвольным полем Г1 как правило очень трудная задача, а ее решение использует свойства конкретного поля .Р(см. [1]).
А.Н. Гришков [4] поставил задачи описания представлений кольца Ли 5/2{Ъ) и й-форм алгебры Ли 5/2(О)* Но изучение Z-фopм естественно начать в локальном случае, то есть с описания йр-форм алгебры Ли я^Ор)-
Подобная тематика изучается сравнительно редко в силу трудности задачи: в качестве примера назовем работу А.Н. Рудакова и И.Р. Шафаревича [5] где представления алгебры Ли 5/2 (Е) (Е — конечное поле) изучаются методами алгебраической геометрии, и работу А.Н. Гришкова [3] в которой строится теория соответствия между матричными треугольными алгебрами Ли с коэффициентами из

кольца степенных рядов и группами треугольных матриц, которая затем применяется в теории альтернативных луп.
Таким образом, проблема описания форм и представлений кольца 5^2(Ф) является актуальной и содержательной даже в случае конкретного кольца операторов: Ф = Ъ или Ф = Ър.
Поскольку в классической теории модули над играют важную роль при построении теории полупростых простых алгебр Ли (см. [1]), то решение поставленных А.Н. Гришковым задач должно стать шагом к описанию форм простых алгебр Ли над кольцами Ъ и Ър.
Целью работы является описание форм и представлений трехмерной простой расщепляемой алгебры Ли Л2 над кольцами Ъ ж Ър.
Основные задачи, решенные в работе:
- Исследование диагональных и 5/2(^р)-модулей;
- решение задачи о конечности или бесконечности 5/2 (й)-модулей в каждой размерности;
- формулировка и доказательство локально-глобального принципа для неприводимых в^С^-модулей;
- изучение структуры произвольной Zp-фopмы алгебры Ли Л2(Ц>Р);
поиск достаточных признаков диагонально сти

Теперь мы можем вычислить 1х и 12: = Ь = 0.
Далее, из соотношения (9) получим, что ир(а) + ир(с) + 6(п,(Т) = 0. Откуда ир(а) = ь'р(с) — 5(п,с[) = 0.
Подставим полученные значения в (10): гр(А(Е, Н, А)) = Так как п < с1, то £ > 0. Следовательно элементы {Е,Н, Е] являются базисом §.
3) Пусть п = й. Определим собственные элементы Н формулами (7). Аналогично пункту 1), получаем, что элементы {Е,Н, Л} образуют подалгебру §1 = 5(п1,<Д), где щ = ур{кк) = п + ир(к), с?1 = п-[-ур{Ъ2-к2)--ь>р{к) — (/1+ /2), А(Е, Н, А) = — • Откуда, воспользовавшись соотношением (б), получим рр{А(Е,Н,Е)) = + 2гр(к) — <1
Из уже рассмотренных случаев п > с1 и п < с1 получим, что если § = §1, то п = Кроме того,ир(А(Е, Н, Л)) = 0, то есть сД = (I — 2ир(к) = п + ир(к). Следовательно, п + ир(к) = п — 21Ур(к). Таким образом, ир(к) = 0, значит в,1 = щ — п — (1.
Лемма доказана.
Теперь, как простое следствие предыдущей леммы, мы можем доказать.
Теорема 6. Пусть § = 5(п1,сД), §2 = — диагональные Ър-формы алгебры Ли яЬ^р)- Тогда §1 = §2 в том и только том случае, если П = П2 и <1 = С?2-