Градуированные кольца и модули

• Автор: Балаба, Ирина Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Тула
• Количество страниц: 212 с.

Содержание
Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Основные определения и понятия

1.2 Категория градуированных модулей

1.3 Первичные и полупервичные градуированные кольца

1.4 Полулинейные и антиполулинейные изоморфизмы

2 Градуированные тела, регулярные кольца и теоремы плотности

2.1 Градуированные линейные пространства

2.2 Градуированные кольца линейных преобразований

2.3 Градуированные регулярные кольца
2.4 Регулярные кольца и модули, градуированные полугруппой . .
2.5 Теоремы плотности
3 Градуированные кольца частных
3.1 Локализация по мультипликативным системам
3.2 Максимальное градуированное кольцо частных
3.3 Градуированный расширенный центроид
3.4 Градуированные первичные РПалгебры
4 Радикалы градуированных колец и П-групп
4.1 Первичные и строго первичные градуированные модули
4.2 Специальные градуированные радикалы
4.3 Радикалы в категории градуированных по полугруппе колец . .
4.4 Первичный радикал градуированных П групп
4.5 Первичный радикал специальных супералгебр Ли
5 Эквивалентности и полные вложения в категориях градуированных модулей
5.1 Полные вложения в категории градуированных модулей
5.2 Градуированный Морита-контекет и эквивалентности категорий

5.3 Эквивалентности в жестких подкатегориях
6 Изоморфизмы и антиизоморфизмы градуированных колец
эндоморфизмов
6.1 Изоморфизмы градуированных колец эндоморфизмов прообразующих
6.2 Строгие градуированные образующие
6.3 Теоремы об изоморфизмах градуированных колец эндоморфизмов
6.4 Теоремы об антиизоморфизмах градуированных колец эндоморфизмов
6.5 Хорошие градуировки на матричных алгебрах
Список литературы

Введение

Теория градуированных колец представляет собой важную самостоятельную ветвь теории колец со своими специфическими методами и проблемами, интенсивно развивающуюся в последнее время. Градуировки естественным образом возникают при рассмотрении таких классических объектов как кольца многочленов, групповые и полугрупповые кольца, кольца матриц. Понятие градуировки играет важную роль во многих кольцевых конструкциях, теории алгебр Ли, гомологической алгебре.
В последние десятилетия активно развивается структурная теория градуированных колец. С периодом около четверти века вышли две монографии К. Настасеску и Ф. ван Ойстайена [134, 136]. В первых работах градуировка рассматривалась по группе целых чисел Z. Отдельно рассматривалась градуировка по двухэлементной группе Ъъ, так называемый „супер“ случай. В 90-е годы прошлого века появилось много работ, касающихся колец и модулей, градуированных полугруппой. Различные аспекты этой теории исследовались в работах Г. Абрамса, A.B. Келарева, В.Д. Манна, К. Менини и других, при этом существенную роль в этих исследованиях играла структура самой полугруппы [26, 55, 131]. В то же время рядом авторов рассматривались кольца, градуированные по группе, и модули, градуированные по множеству, на котором действует эта группа [68, 88, 137], а С.В. Зеленовым [21] была рассмотрена и более общая ситуация, когда градуировка колец рассматривалась полугруппами, а градуировка модулей - полигонами над этими полугруппами.
Существенную роль в теории градуированных колец играют градуированные тела, то есть градуированные кольца, каждый ненулевой однородный элемент которых обратим. Поскольку градуированные модули над градуированными телами обладают рядом свойств, аналогичных линейным пространствам, то они называются градуированными линейными пространствами. Например, изучая суперкольца, M.JI. Расин [143] показал, что супералгебры эндоморфизмов конечномерных суперпространств над супертелами изоморфны в том и только том случае, если существует полулинейный изоморфизм суперпространств.

1) AM является пересечением всех gr-квазиинъективных подмодулей модуля Е9Г(М), содержащих М;
2) АХ является gr-квазиинъективным модулем;
3) градуированный модуль X является gr-квазиинъективным тогда и только тогда, когда X = АХ.
Следствие 1.2.2. Градуированный A-модуль М gr-квазиипъективен тогда и только тогда, когда он является вполне инвариантным подмодулем своей gr-итективпой оболочки.
По аналогии с gr-инъективной оболочкой можно определить дг-квази-инъективную оболочку Qgr(M) градуированного модуля М как наименьший gr-квазиинъективным модуль, содержащий М, которая определяется однозначно с точностью до изоморфизма. Из предложения 1.2.6 получим: Q9r(M) = AM = AM, где Д = ENDa(Q^(M)).
Пусть М G gr.mod-A, N G A-gr.mod. Следуя [134], определим градуированное тензорное произведение М ®а N, как градуированную абелеву группу M®aN = фдес(М0А АГ)д, здесь (M®rN)(j - аддитивная подгруппа группы М N, порожденная элементами х ®у, где х G Mh, у G Nt и ht = д.
Предложение 1.2.7. ([134, предложения 1.2.13 - 1.2.17]). Градуированное тензорное произведение обладает следующими свойствами:
1) При фиксированном N G A-gr.mod функтор
— N : gr.mod—А —> gr.mod—Z
является точным справа.
2) Если А и В - градуированные кольца, М G gr.mod-A, N G A-gr.mod-Б, то М <8>д N - правый градуированный В-модуль.
3) Если М G gr.mod-A, Р G gr.mod-Б, N G A-gr.mod-Б, то существует естественный изоморфизм градуированных модулей
НОМВ(М ®А N, Р) ~ НОМл(М, HOMB(!V, Р)).
4) Пусть Р G gr.mod-A, N G gr.mod-Б, М G А — gr.mod-Б. тогда существует канонический морфизм градуированных модулей
ф:Р®А НОМ В(М, N) —> НОМв(НОМд(Б, М), IV),