Полиномиальные тождества в некоторых конструкциях в теории алгебр Хопфа

• Автор: Кочетов, Михаил Викторович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 119 с.

Введение
Настоящая работа посвящена изучению тождеств некоторых классов алгебр, возникающих в теории алгебр Хопфа. Во-первых, представляет интерес вопрос, при каких условиях сами алгебры Хопфа удовлетворяют нетривиальному тождеству. Примерами такого типа результатов являются явные критерии наличия тождества, полученные Д. Пассманом — для групповых алгебр, В.Н. Латыптевым и Ю.А. Бахтуриным — для универсальных обертывающих алгебр и В.Н. Петроградским — для ограниченных обертывающих, поскольку все эти классы алгебр являются примерами кокоммутативных алгебр Хопфа.
Согласно теореме разложения Б. Костанта, П. Картье и П. Габриэля, всякая коком-мутативная алгебра Хопфа над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль может быть представлена в виде так называемого «смэш-произведения» универсальной обертывающей алгебры и групповой алгебры. Конструкция смэш-произведения может рассматриваться как некоммутативная версия обычного тензорного произведения. Она весьма часто возникает в теории алгебр Хопфа, поэтому представляется важным найти условия, при которых смэш-произведение является РІ, то есть удовлетворяет нетривиальному тождеству. В случае тензорного произведения ответ дается теоремой А. Регева, утверждающей, что тензорное произведение (ассоциативных) алгебр является РІ тогда и только тогда, когда, оба множителя являются РІ. Для смэпг-произведения это условие недостаточно.
Еще одним важным классом алгебр, рассматриваемым в данной работе, являются так называемые (Н, /Д-алгебры Ли, введенные недавно в работах Ю.А. Бахтури-на, Д. Фишман и С. Монтгомери и являющиеся обобщением цветных супералгебр Ли. Эти алгебры определяются деформированными тождествами антикоммутативности и
Введение

Якоби. С помощью процедуры, предложенной М. Шойнертом, цветная супералгебра Ли может быть «обесцвечена», то есть ее скобка модифицирована таким образом, что она начинает удовлетворять обычным тождествам супер-антикоммутативности и супер-Якоби. Этот «трюк Шойнерта» является исключительно полезным инструментом в теории цветных супералгебр Ли, поэтому важно было бы выяснить, до какой степени он может быть расширен на (Н, /3)-алгебры Ли.
Первая глава настоящей работы посвящена нахождению условий, при которых ко-коммутативная алгебра Хопфа является Р1. В случае характеристики нуль эта проблема сравнительно нетрудно решается при помощи теоремы разложения. Случай же положительной характеристики является намного более сложным. Для универсальных и ограниченных обертывающих алгебр ответ дается вышеупомянутыми результатами К).А. Бахтурина и В.М. Петроградского. В недавней совместной работе этих авторов исследован также случай смэш-произведения универсальной или ограниченной обертывающей и групповой алгебры. Тем не менее, подавляющее большинство некоммутативных алгебр Хопфа положительной характеристики не могут быть сведены к смэш-произведениям этого типа. Важным классом таких кокоммутативных алгебр Хопфа являются так называемые гипералгебры формальных групповых законов. Как известно, в положительной характеристике, в противоположность случаю характеристики нуль, алгебра Ли формального группового закона отнюдь не несет исчерпывающей информации о нем. Конструкция гипералгебры призвана исправить этот недостаток. Заметим в этой связи, что в характеристике нуль гипералгебра формального группового закона — это просто универсальная обертывающая его алгебры Ли. Неудивительно поэтому, что поведение этих гипералгебр и в положительной характеристике напоминает поведение универсальных обертывающих характеристики нуль (но не обертывающих положительной характеристики!). Одним из основных результатов первой главы является распространение теоремы В.Н. Латышева и Ю.А. Бахтурина об универсальных обертывающих характеристики нуль на гипералгебры формальных групповых законов. А именно, эти гипералгебры являются Р1 только тогда, когда они коммутативны. Доказательство этого результата использует формальные группы и требует предварительной подготовки, поэтому оно отложено до третьей главы. Еще одним важным результатом, сформулированным в первой главе, является критерий наличия тождества для смэш-
Введение

произведений гипералгебры аддитивного формального группового закона и групповой алгебры. Доказательство также отложено до третьей главы. В первой главе мы извлекаем некоторые следствия из этих двух результатов.
Во второй главе рассматриваются смэпт- произведения обгдего вида. При изучении групповых и обертывающих алгебр важным инструментом являются так называемые дельта-множества. Обобщая идею Ю.А. Бахтурина и В.М. Петроградского, мы вводим понятие дельта-множеств для действия алгебры Хопфа на ассоциативной алгебре и для некоторого класса алгебр получаем условия конечности на такое действие, необходим!, 1е для существования тождества в смэпт-произведеиии, ассоциированном с этим действием. Мы применяем наши результаты для нахождения явного критерия, когда смэш-произведение универсальной обертывающей супералгебры Ли и групповой алгебры над полем характеристики нуль является Р1.
В третьей главе мы используем двойственность П. Картье и формальные группы для доказательства двух вышеупомянутых результатов о гипералгебрах. Интересно отметить, что доказательство первого из них в конечном итоге сводится к применению теоремы Д. Пассмана о групповых алгебрах с тождеством. Доказательство второго результата, помимо двойственности, использует технику, развитую во второй главе.
Четвертая глава посвящена обобщению упомянутого «трюка Шойнерта» для цветных супералгебр Ли на произвольные (Н,/3)~алгебры Ли, где Я — коммутативная и кокоммугативная алгебра Хопфа характеристики, отличной от 2, и /3 — кососимметрический бихарактер на Н (обобщение «коммутационного фактора» для цветных супералгебр Ли). Желаемая модификация скобки, приводящая к обычной супералгебре Ли, осуществляется с помощью 2-коцикла, который должен для этого удовлетворять некоторому уравнению, в правой части которого стоит бихарактер р. Чтобы показать разрешимость этого уравнения, необходима информация о группе бихарактеров алгебры Хопфа Н. Сначала мы рассматриваем несколько более общий объект, а именно, полихарактеры алгебры И. Мы явно вычисляем группы полихарактеров для некоторых типов алгебр Хопфа, а затем доказываем общую теорему о возможности извлечения корня степени, не делящейся на характеристику поля, из произвольного полихарактера связной кокоммугативной алгебры Хопфа. В качестве следствия мы получаем искомый результат о бихарактерах в характеристике, отличной от 2. Наконец, мы, в качестве
Глава 1. Кокоммутативные алгебры Хопфа с тождеством

Е = ба1(к/к) на алгебре Хопфа Я0 ® к = кб, где б = б(Я0 ® к), так что Е действует автоморфизмами на группе б, причем стабилизатор всякого элемента группы б открыт в Е. В этой ситуации говорят, что б — «модуль Галуа» (хотя группа б не обязана быть абелевой). Обратно, если дан произвольный модуль Галуа б, мы можем естественным образом расширить действие Е на групповую алгебру кб и рассмотреть Но = кбЕ. Тогда из лемм 1.2.1 и 1.2.2 вытекает, что Н0 — кополупростая алгебра Хопфа и Щ ® к = кб. Очевидно, если действие Е на б тривиально, мы получаем Щ = кб — обычная групповая алгебра.
Определение 1.2.5. Пусть Н — алгебра Хопфа, К с Н — нормальная подалгебра Хопфа. Следуя теоретико-групповой терминологии, мы будем называть <ИтН/НК+ индексом подалгебры К в Н.
Замечание 1.2.6. Пусть Я — кополупростая кокоммутативная алгебра Хопфа, К С Я — нормальная подалгебра Хопфа конечного индекса, тогда Я конечно порождена как левый или правый А'-модуль. В самом деле, переходя к полю к, мы получаем: Я® к = кб, К ® к = кИ, где б — некоторая группа, а N — ее нормальная подгруппа конечного индекса, так что Я®к порождается как К®к-модуль представителями смежных классов, а тогда Я порождается как А-модуль Я-компонентами этих представителей. Это замечание было бы совершенно тривиальным, если бы Я являлась свободным модулем над всякой нормальной подалгеброй Хопфа К (тогда мы могли бы выбрать сйт Н/НК+ свободных порождающих). Однако Я не обязана быть свободным модулем, даже если Н — форма групповой алгебры бесконечной циклической группы (см. [28, пример 3.5.2]). С другой стороны, всякая коммутативная пли кокоммутативная алгебра Хопфа Я является точным плоским расширением всякой своей подалгебры Хопфа [28, раздел 3.4] в следующем смысле. Расширение колец Я С 5 называется точным плоским слева, если, для всякого гомоморфизма правых Я-модулей / : М —> N, / инъективен 4Ф /®Ы : М®д5’ —»IV®д 5 инъективен. Если 5 — свободный левый Д-модуль, то расширение К С А точное плоское слева. Во многих случаях условие точной плоскостности является достаточной заменой свободности. Например, если К С 5 — точное плоское слева расширение, то для всякого правого идеала / С В имеем К П 6Д = /.
Теперь мы можем доказать главную теорему этого раздела.