Решетки топологий унаров

• Автор: Карташова, Анна Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Волгоград
• Количество страниц: 99 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. Основные определения и вспомогательные
результаты
ГЛАВА II. Мощности решеток топологий унаров
ГЛАВА III. Унары с ограничениями на решетку
топологий
§1. Модулярность и дистрибутивность
§2. Дополнения
§3. Псевдодополнения
ГЛАВА IV. Отделимые топологии в решетках
топологий унаров
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Одним из важных направлений универсальной алгебры является изучение, решеток, связанных с различными классами алгебраических систем. Применение теории решеток позволяет объяснить многие общие закономерности из различных областей математики и выразить эти закономерности на едином языке.
Исследование решеток, связанных с различными классами алгебр, началось с работы Дедекинда [38], который в 1900 году доказал, что решетка нормальных подгрупп любой группы модулярна. Это направление получило развитие в работах Г. Биркгофа, А. И. Мальцева, Р. Бэра, А. Г. Куроша, О. Оре, Л. А. Скорнякова, А. В. Михалева, М. Судзуки, В. А. Артамонова, Д. М. Смирнова, В. А. Горбунова, Л. Н. Шеврина, Г. Гретцера, Б. Ионсона, Р. Маккензи, В. М. Копытова, А. И. Кокорина, В. Н. Салия, А. А. Туганбаева, И. Б. Кожухова, Г. В. Дорофеева, Т. С. Фофановой, Г. Е. Пунинского и других авторов.
При изучении производных решеток для классов алгебраических систем исследуются решетки подалгебр, конгруэнций, подалгебр и конгруэнций специальных типов, а также - решетки многообразий, квазимногообразий и других классов алгебраических систем, обладающих заданными свойствами. В этом направлении традиционными вопросами являются: исследование мощности этих решеток, тождеств и квазитождеств, истинных на них, условия определимости алгебраических систем решетками, связанными с ними, и т. п.
Аналогичные вопросы ставятся и при изучении класса решеток топологий на множествах. Впервые этот класс рассмотрел Биркгоф в 1936 году [37]. С тех пор в этой области достигнуты значительные
- продвижения. Обзор результатов по этой проблематике изложен, например, в [56]. Среди наиболее важных отметим результат Штейнер [65], показавшей, что решетка всех топологий на произвольном множестве А является решеткой с дополнениями, причем она дистрибутивна лишь при |А| < 2.
Задача изучения решетки всех топологий на произвольной алгебре 21 = '{Л,П) рассматривалась рядом авторов. В работе [25] Б. Д. Орлов показал, что частично-упорядоченное по включению множество всех топологий на любой универсальной алгебре 21 является полной решеткой. Б. Шмарда в [64] доказал, что если С - абелева /-группа,
- то решетка всех топологий на С дистрибутивна, а топологии на носителе группы С, относительно которых непрерывна только групповая операция, образуют модулярную решетку.
Для систематического построения теории решеток топологий алгебр необходим анализ ситуации для различных сигнатур. Следует отметить, что теория универсальных алгебр с унарными операциями и алгебр, в сигнатуре которых имеется операция арности не меньше 2, существенно различаются. В настоящей диссертации основное внимание сосредоточено на исследовании решеток топологий унаров, т. е. алгебр с одной унарной операцией.
Класс унаров привлекает внимание многих специалистов. Унары, благодаря возможности их графического представления, являются удобным источником примеров для выявления сущности и особенностей различных понятий алгебры и теории моделей. Унары, по существу, идентичны с автоматами без выхода, имеющими единственный входной сигнал. Интерес к этим алгебрам в последнее время значительно

Из х Е Х2 и Х2 £ £(Ад) получаем, что х £ р| / г(АД) С Х2 для

некоторого конечного множества индексов I множества N0. Покажем, что / = {0}. Действительно, если х £ то /г(рс) £ Х2. С другой
стороны, снова используя лемму 4, получаем, что множество Х является объединеием конечных пересечений некоторых множеств вида /(Ад), где j £ N0, так как Х £ £(X2). Однако, согласно (8) условие Р+3(х) £ Х2 влечет г + У = 0, откуда г = 0 и, значит, I — {0}. Следовательно, Х С Х2. Аналогичным образом можно проверить, что
х2 С хь □
Лемма 9. Существует такое континуальное множество Н хаус-дорфовых типологий на унаре Т} что для любой топологии а £ Л, найдутся топологии стьстг £ Л, удовлетворяющие условию СГ1 С О С (72-

Доказательство. Пусть Д(5) - множество всех подмножеств множества 5 простых чисел. Для любого X £ Р(С) положим
*>(*) = V Р)

где £р - конгруэнция, определенная по правилу (4). Убедимся, что отображение : Р{в) —> й(Х1) является инъекцией.
Пусть ХЬХ2 С 5 и р £ Х1 Х2. Обозначая через а порождающий элемент унара Т и полагая М = {/Т1(о)|г7- £ N0, рп}, получаем, что М £ <р(Х) ввиду (9).
Если М £ ср(Х2)1 то, снова используя (9), получаем, что множество М есть объединение конечных пересечений множеств, каждое из которых открыто в некоторой топологии где д £ Х2 и кон-
груэнция задана по правилу (4). Пусть а £ ЬР1 П ЬР2 П ... П ЬРк