О конечной базируемости правоальтернативных метабелевых алгебр

• Автор: Кузьмин, Алексей Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 75 с.

1. Шпехтовы многообразия правоальтернативных метабе-левых алгебр

1.1. Основные операторные соотношения свободной правоальтернативной метабелевой алгебры
1.2. Достаточное условие шпехтовости многообразия правоальтернативных метабелевых алгебр

1.3. О шпехтовости некоторых многообразий правоальтернативных метабелевых алгебр

2. Топологический ранг многообразия правоальтернативных метабелевых алгебр с тождеством лиевой нильпотентности

2.1. Предварительные соотношение и леммы

2.2. Аддитивная структура пространства 7^ (21л/-)

2.3. Верхняя оценка топологического ранга А/’-выделенного многообразия

2.4. Нижняя оценка топологического ранга Л/-выделенного многообразия

2.5. Доказательство основной теоремы

3. Почти шпехтово многообразие правоальтернативных метабелевых алгебр

3.1. Вспомогательная супералгебра Д
3.2. Свободная алгебра многообразия уаг (С (Д))
3.3. О шпехтовых подмногообразиях в уаг (в (Д))
3.4. Аддитивная структура пространства Одт (21)
3.5. Почти шпехтово многообразие Ш С уаг(С (Д))

4. О некоторых метабелевых многообразиях над полем ненулевой характеристики
4.1. О супер-ранге многообразия 0>2
4.2. Топологический ранг многообразия метабелевых алгебр Ли

Изучение строения идеалов тождеств многообразий алгебр представляет собой важное направление исследований в современной теории колец. Принципиальным аспектом подобных исследований является вопрос существования конечных систем порождающих рассматриваемых идеалов, т. е. конечных базисов тождеств. Многообразие алгебр, всякое подмногообразие которого допускает конечный базис тождеств, называют шпехтовым.
В 1950 году в теории ассоциативных алгебр возникла проблема Шпехта: верно ли, что всякое многообразие алгебр над полем характеристики 0 обладает конечным базисом тождеств? Эта проблема оставалась нерешенной более тридцати лет, что послужило развитию интереса математиков также и к вопросам шпехтовости многообразий неассоциативных алгебр. Так, шпехтовость различных многообразий ассоциативных, лиевых, альтернативных и йордановых алгебр широко изучалась в ряде работ: А. Р. Кемер [17-20], В. Н. Латышев [22-26], Ю. А. Медведев [28, 29], С. В. Пчелинцев [32-34], Ю. П. Размыс-лов [36, 37] и др.
Одним из первых в нашей стране проблемой Шпехта начал заниматься профессор В. Н. Латышев. В частности, в 1972 году он доказал шпехтовость многообразия ассоциативных алгебр над полем характеристики 0 с тождеством [[жі,а;2 а^_2],[а^-і,а^]] = 0 [24]. Окончательное решение проблемы Шпехта получил в 1987 году А. Р. Кемер [19], доказав, что произвольное многообразие ассоциативных алгебр над полем характеристики 0 имеет конечный базис тождеств. Однако над полями ненулевой характеристики существуют бесконечно базируемые многообразия [6, 7, 43].
В 1966 году проблема конечной базируемости многообразий алгебр привлекла внимание академика А. И. Мальцева. Так, на Втором Всесоюзном симпозиуме по теории групп в Батуми он [21] сфор-

3°. Применяя (3.8), с учётом пунктов 1° и 2°, имеем
[хгХ]) ЬХк1 ... ЬХкп_^ЬХкпЬХкп^
= — (хгх3) ЬХк1... Дг*п_, ^ЬХкп11хкп+1 + ЯХкпЬХкп^
по модулю линейных комбинаций правильных слов вида а) — б) . □
3.2.3. Линейное пространство 2дг (21)
Через Рдг (21) обозначим пространство полилинейных многочленов алгебры 21 от переменных х, Х2, ■.., х^. Пусть 2лг(21) — подпространство многочленов / (х1, Х2 ждг) € Рдг (21) таких, что алгебра 21 удовлетворяет системе тождеств
f (зцЖдг,^, 3^2, £3, . . . , 3?дг_1, Ждг) О,
/ (^Ъ 'К‘2%N+.1 ®3) • • • ) *£.N—1) ^]у) — 0)

к I (®1, х2> ®3, • • •) ^N—1) ®лГ®ЛГ+1) — 0*
Лемма 3.4. Пространство <2^ (21) при N < 4 является нулевым.
Доказательство. Пусть / = шцжг + и а / 0. Тогда на
элементах алгебры Л
®1•- У) ^2 := «1 многочлен принимает значение
ущ = «1 ф 0.
Следовательно, предположение / Е (21) влечёт а = /3 = 0.
Рассмотрим случай ДГ = 3. На основании тождества (1.1) одночлен хч {х12хгз) кососимметричен по переменным х12 и хч по модулю линейных комбинаций одночленов вида {хпх}2) х]3, кососимметричных