Модули стабильных пучков ранга два с классами Черна c1 = -1, c2 = 2, c3 = 0 на проективном пространстве

• Автор: Заводчиков, Михаил Александрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 86 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Пучки с нульмерными особенностями
1.1 Предварительные вычисления и обозначения
1.1.1 Обозначения
1.1.2 Предварительные вычисления для пучков из М с нульмерными особенностями
1.2 Множество пучков М1
1.3 Множество пучков М2
1.4 Пучки с нульмерными особенностями, не дающие

неприводимых компонент в М
2 Пучки с одномерными особенностями
2.1 Предварительные вычисления и обозначения
2.1.1 Обозначения
2.1.2 Предварительные вычисления для пучков с одномерными особенностями
2.2 Множество Мз
2.3 Множество М4
* 2.3.1 Неприводимость множества М4
2.3.2 Включение множества М4 в М[
2.4 Множество М5
2.4.1 Неприводимость множества М5
2.4.2 Включение множества М5 в М2

Введение
Актуальность темы
Пространство модулей - это один из основных объектов изучения современной алгебраической геометрии, который появился в связи с проблемой классификации алгебраических объектов, таких как алгебраические кривые, поверхности, многообразия, векторные расслоения и когерентные пучки. Актуальность изучения пространств модулей обусловлена приложениями в дифференциальной геометрии, топологии и теоретической физике.
Например, в калибровочной теории пространства инстантонов с зарядом п интерпретируются как подмножества многообразий модулей стабильных векторных расслоений Е ранга 2 на СР3 с классами Черна с — 0 и С2 = п, удовлетворяющих условию Н1(£(-2)) = 0. Проблема классификации неприводимых компонент пространств модулей пучков ранга два на 3-мерном проективном пространстве с произвольными классами Черна в настоящий время далека от завершения. Поэтому рассмотрение частных случаев является актуальным исследованием, которое может помочь в развитии средств для решения общей проблемы.
Маруяма [5] показал, что для стабильных векторных расслоений с фиксированным многочленом Гильберта над проективным алгебраическим многообразием существует грубое пространство модулей и оно алгебраично. Для поверхностей это было доказано Гизекером [15].
Геометрия пространств модулей Мрз(2; с1;тг,0) стабильных когерентных пучков ранга 2 без кручения с классами Черна С; — 0 или -1, С2 = п, Сз = 0 на трехмерном проективном пространстве Р3 к настоящему моменту изучена только для малых п. А именно при С1 = 0 полная

классификация всех компонент пространства Мрз(2; 0, п, 0) получена лишь для п — 1 Бартом [18] и Уивером [16] и для п = 2 Хартсхорном [19] и Ле Потье [17]. При С — —1 число п принимает только
четные значения, и известно, что для любого четного п пространство модулей Мрз(2; — 1,п,0) непусто и содержит компоненту Мрз(— 1,п), которая является замыканием открытого множества Мрз(—1,п) локально свободных пучков. Р.Хартсхорн и И.Сольс [9] показали, что пространство модулей Мрз(—1,2) стабильных локально свободных пучков ранга 2 с классами Черна с — — 1, сг = 2 на Р3 является неприводимым неособым рациональным многообразием размерности 11. Х.Мезегер, И.Сольс и С.А.Стрёмме [10] описали замыкание Мрз(—1,2) многообразия МРз(—1,2) в схеме МРз(2; —1,2,0).
Цель работы
Целью диссертационной работы является классификация всех неприводимых компонент схемы модулей МР*(2; —1,2,0).
Основные методы исследования
В работе используется техника универсальных семейств, конструкция Серра и техника. С)ио1~схем для описания множеств стабильных пучков с классами Черна с — — 1, — 2 и сз = 0 на 1Р3.
Научная новизна
В работе впервые описаны все неприводимые компоненты схемы модулей стабильных когерентных пучков ранга 2 без кручения с классами Черна С — — 1, сг = 2 и сз = 0 на трехмерном проективном пространстве

Теоретическая и практическая значимость
Настоящая работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения схем модулей полустабильных когерентных пучков ранга 2 без кручения на Р3.
Апробация работы
Результаты диссертации докладывались на семинаре по алгебраической геометрии при кафедре алгебры Ярославского государственного педагогического университета им. К.Д.Ушинского в 2007, 2009 годах,
где % - локально свободный пучок ранга 2, 0 - универсальное семейство артиновых пучков длины 2 на Р1, а 7 - подпучок кручения в (id х Отождествляя Ру с бР1, имеем естественную проекцию (морфизм Чжоу) 7г : G —> £2Р q = U ® Opi Q] и l(Qx)x. По
xeSuppQ
построению ДЛЯ любой ТОЧКИ у = (хьг) € £2Р: слой тг_1(у) изоморфен span(y, Си) П G, то есть является квадрикой в пространстве span (у, Сц). В частности, если у = (х, х) Є Су, то тг~1(у) - квадратичный конус Ку с вершиной в точке у. При этом вершина конуса Ку есть точка у = [U® Opi -» к2], а всякая точка из Ку {у} есть класс [U ® (Dpi -» Ör], где т - схема длины 2 с носителем в точке х.
Рассмотрим теперь произвольный локально свободный пучок £ ранга 2 на Р1, схему Quot(£,2) и ее подсхему Quot(£,2)x = {[£ -» Q] Є Quot(£,2)|SuppQ = x}. Нетрудно видеть, схема Quot(£,2)x в силу
локальности ее определения не зависит от выбора пучка £, а значит, изоморфна Quot (С ® (Dpi, 2) ~ Ку, где у = (х, х):
Quot(£, 2)х ~ Ку. (1-71)
2) Пусть теперь U - произвольное векторное пространство размерности
3. Рассмотрим схему Quot (С ® (Dpi, 2) и ее подсхему Quot(f/ <3 (Dpi,2)x

{[С/ ® Öpi -» Q] Є Quot(U ® Öpi,2)|SuppQ = x}. Для произвольной

точки q = [U ® (Dpi -» Q] Є Quot(l/ ® (Dpi,2)x рассмотрим отображение

вычисления Я (0) (Dpi -» Q. Тогда определено отображение yq : U -» #°(Q) такое, что eq ~ (yg ® idpi) о evq. Тем самым, имеем сюръективный рациональный морфизм р : Quot(£/ ® (Dpi,2)x ► Р2 = P(U), q kerq. Морфизм р имеет естественное разрешение р = р о т : Quot(S, 2)х —> Р2, где г : Quot(S,2)x —» Quot(S,2)x - бирациональный морфизм, такое, что слой p~l(U') над произвольной точкой U' Є Р2 изоморфен Quot(U/U' <Э öpi,2)x cs Ку. Тем самым, схема Quot(£7 ® (Dpi, 2)х неприводима.
Пусть 5 - локально свободный пучок ранга 3 на Р1, схему Quot(S,2) и