Исследования тройных лиевых и суперлиевых систем

• Автор: Шишкин, Эдуард Олегович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 89 с.

Оглавление
1. Сплетения и расщепляющие вложения тройных лиевых и суперлиевых систем
1.1. Алгебры Ли, Ът градуированные алгебры Ли, тройные лиевы системы
1.1.1. База сплетения алгебр Ли и ее свойства
1.1.2. Сплетение алгебр Ли
1.1.3. Ж2 - градуированные алгебры Ли и тройные лиевы
системы
1.2. Аналоги теоремы Калужнина-Краснера для алгебр, Ж2 - градуированных алгебр Ли и тройных лиевых систем
1.2.1. Точное представление расширения Ь = Т(д,()) в ас-
социативной алгебре эндоморфизмов свободного модуля
1.2.2. Расщепление расширения £(@, ()) в алгебре эндоморфизмов [Е
1.2.3. Структура эндоморфизмов Гі2(-Ь)
1.2.4. Вложение расширений в сплетение
1.2.5. Замечание о - градуированных алгебрах Ли и
тройных Лиевых системах
1.3. Супералгебры Ли и тройные суперлиевы системы
1.3.1. База сплетения супералгебр Ли и ее свойства
1.3.2. Сплетение супералгебр Ли
1.3.3. Тройные суперлиевы системы
1.3.4. Аналог теоремы Калужнина-Краснера для супералгебр Ли
1.3.5. Замечание о тройных суперлиевых системах
2. Представления четырехмерных лиевых и суперлиевых тройных систем симметрической и кососимметрической билинейных форм
2.1. Тройные системы, связанные с билинейными формами

2.2. Линейные алгебры Ли 5о(5, С) и оо(4, С)
2.3. Модули старшего веса над алгебрами 51(2, С) и оо(4, С)
2.4. Конечномерные зо(5, С) - модули
2.4.1. Спектральная задача ограничения алгебры яо(5,С)
на подалгебру 50 (4, С)
2.4.2. Структура д - модуля на д0 - модуле V
2.5. Бесконечномерные 50(5, С) - модули

Введение
Диссертация посвящена тройным лиевым и суперлиевым системам. Возрастающий интерес к этому классу тернарных алгебр можно объяснить, в частности, их связью с другими разделами математики (так, например, касательное пространство локальной аналитической лупы Бола несет структуру тройной лиевой системы). Удобство же формулировки некоторых физических законов на языке этих алгебр позволяет свести большинство соответствующих задач к задачам теории представлений.
Отметим сразу, что потребность во вводимых в первой главе этой работы операциях сплетения алгебр и супералгебр Ли, а также тройных лиевых и суперлиевых систем возникла не из нужд алгебры, в то время как в теории поля их основное свойство универсальности имеет прозрачную интерпретацию. Групповой аналог этих операций известен давно, свойство его универсальности, а именно то обстоятельство, что сплетение АIВ является вместилищем всех расширений группы В при помощи группы А, было установлено в статье [1] Л.Калужнина и М.Краснера в 1951 году. Аналогичный универсальный объект появился позже и для расширений абелевой К - алгебры Ли () при помощи К - алгебры Ли 5. Его конструкция, даваемая леммой А.Л.Шмелькина в [3], использует понятие иньективной оболочки в - модуля {), а свойство универсальности следует из точности свободной резольвенты £4Дд) - модуля К. И хотя трактовка понятий классической электродинамики Максвелла укладывается в рамки языка расширений абелевых алгебр Ли (чуть ниже мы остановимся на этом подробнее), ничто не заставляет нас при постановке соответствующих алгебраических задач ограничиваться этим классом, равно как и самим классом алгебр Ли. В этом смысле особую роль играет конструкция сплетения алгебр Ли, предложенная в 1995 году Ю.П.Размысловым, установившем свойство ее универсальности, не прибегая к аппарату гомологической алгебры, а также конструкции сплетения супералгебр Ли, тройных лиевых и суперлиевых систем, рассматриваемые в первой главе данной диссертации, которая посвящена установлению свойства их универсальности, т. е. доказательству аналога теоремы Калужнина

Более того, из теоремы 1.2.2 следует, что образ идеала V. при этом вложении содержится в нечетной компоненте базовой алгебры Fun(g, t)), рас-сматривемой как тройная лиева система относительно операции двойного умножения. Эту компоненту мы будем обозначать через Fun(Q,H) и называть базой сплетения И с Ç. Т.о. доказана
Теорема 1.2.3. Любое расширение тройной лиевой системы % при помощи тройной лиевой системы Q вкладывается в сплетение H 1 Q так, что образ идеала Н при этом вложении содержится в Funféj'H).
1.3. Супералгебры Ли и тройные суперлие-вы системы
1.3.1. Ваза сплетения супералгебр Ли и ее свойства
Определение 1.3.1. %2-градуированная алгебра называется супералгеб-рой Ли, если в ней выполнены ’’супертождества”:
[х,у + (—l)111*'1 [у, ж] = 0 (1.18)
[ж, [у, z}] = [[ж, у], z] + (-1)№1[г/, [х, z] (1.19)
Определение 1.3.2. (Правым) дифференцированием / -градуированной алгебры А будем называешь линейное отображение Х-градуированного линейного пространства А в себя такое, что
(xy)f = x(yf) + (—l)l/ll!/l(æ/)t
Подалгебра ассоциативной й2-градуированной алгебры EndA порожденная всеми дифференцированиями с умножением, заданным градуированным коммутатором:
[f,g = fa- (-1 )UM9f
яиляется супералгеброй Ли и обозначается Der А. Из супертождества Якоби следует, что умножение на любой однородный элемент у произвольной супералгебры Ли L является дифференцированием L.
Любая ассоциативная йг-градуированная алгебра А превращается в супералгебру Ли, если на ней ввести новое умножение — градуированный коммутатор:
[ху = ху - (-1)мыг/ж,