Асимптотическая формула в проблеме Варинга-Гольдбаха со сдвинутыми простыми числами

• Автор: Рахмонов, Фируз Заруллоевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 95 с.

Оглавление
Обозначения
Введение
1 Оценка тригонометрических сумм с простыми числами
1.1 Известные леммы
1.2 Оценка тригонометрических сумм с простыми числами на множестве первого класса
1.3 Оценка квадратичных тригонометрических сумм с простыми
числами
2 Исследование особого ряда в проблеме Варинга—Гольдбаха со сдвинутыми простыми числами
2.1 Формулировка результатов
2.2 Вычисление Эг(2, IV)
2.3 Вычисление Ф(р. IV), р >
2.4 Вычисление ©(IV) и ее оценка снизу
3 Асимптотическая формула в проблеме Варинга—Гольдбаха со сдвинутыми простыми числами
3.1 Основная теорема
3.2 Оценка вспомогательных тригонометрических сумм с простыми числами
3.3 Доказательство основной теоремы
Литература

Обозначения
е(а) = е2та — cos 2ira + i sin 2тга.
с, ci, С2, -положительные постоянные.
e-положительные сколь угодно малые постоянные.
Л(п) - функция Мангольдта.
тг(п) - число решений уравнения хХ2 ... хг — п в натуральных числах т(п) - число делителей числа п.
ordp(n) - наибольшая степень простого числа р, делящего целое число п, т.е.
pordp(n) ||п.
X - характер Дирихле по модулю q.
5р(п) = - символ Лежандра.
ер = 6Р{-1) = = (-1).
C(s) - дзета функция Римана, s = а + it.
L(s,x) - L- ряд Дирихле.
N(u, Т, х) ~ число нулей L(s, х) в области Res > и > 0, 5, 0 < Ims < Т.
T(s) - гамма функция Эйлера.
[х] - целая часть числа х.
{х} - дробная часть числа х.
||х|| = min ({*}»!- {*}) - расстояние до ближайшего целого числа.
(а, Ъ) - наибольший общий делитель чисел а и Ь.
( V"' (па d / / -1’ если (п,р) = 1;
Cq(n) = > el — I — сумма гамануджана, Ср{п) = <
" ' V ч ) если {п,р)=р.
Введение
Настоящая диссертация является исследованием в области аналитической теории чисел. Основным предметом исследований, составляющих ее содержание, является изучение поведения тригонометрических сумм с простыми числами и вывод асимптотической формулы для количества представлений натурального числа в виде суммы пяти квадратов сдвинутых простых чисел.
И.М. Виноградов [1]-[12] создал метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами. Он обнаружил, что суммы по простым числам могут быть составлены путем только сложений и вычитаний из сравнительно небольшого числа других сумм (решето Виноградова), хорошие оценки которых могут быть получены с помощью метода оценок двойных сумм и средств, не имеющих какого-либо отношения к теории функции С(з) или Г-рядов (метод сглаживания двойных сумм). Пользуясь этим методом, он впервые получил нетривиальную оценку линейной тригонометрической суммы
Полученная оценка для Б(а,х) в соединении с теоремами о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях позволила вывести асимптотическую формулу для числа представлений нечетного N в виде N = Р+Р2+Рз, следствием которого является тернарная проблема Гольдбаха о представлении нечетного натурального числа как суммы трех простых чисел.
В 1937 г. И.М.Виноградов с помощью указанного соображения с последующим применением метода Г. Вейля получил оценку суммы

£"(/) = е (/(г))! f(t) = ат + аш-ііт 1 + + ОЦІ

Wi= Y аті Y, am, E E e(ar(2m2n2 + r + 2))
M r>l,r=—m2n2 (modm-i)
— 'Y/ ßmi E ®77l2 E E e(ar(2m2n2 + r + 2)),
M m2n2=~r(modmi)
/ Nmi—r „r . / 7* 2Nmi — r
N1 = max ( iV, ) , JV2 — mm ( 2iV,
ГП2 J ГП2 m2
Ri — max (1, JV(mi — 27712)) , -R2 = min (ж — miV, N(2m — m2)).
Разбивая сумму PPi на слагаемые с условием (mb т2) — d, d < 2М, имеем
Wi= Y Y Е а™2 Е Е z(ar(2rri2n2 + г + 2))
d<2M М<т<2М м<т2<2М Ri (mj ,7772 )=d т2«2=-r(modmi)
-E E ami ' ßm2 E E e{ar(2m2n2 + r + 2)).
d<2M M m=Q(modd) {m,m.2)=d, rrt2=0 (modd) т2П2—r(modmi')
Из сравнений ті = 0{modd), т2 = 0(modd) следует, что переменные ті и 7712 имеют вид ті = rrid и Ш2 = m'2d, = 1. Поэтому из сравнения
m2n2 = —r(modm2), которое принимает вид m2dn2 = —r(modm'2d) следует, что также и г имеет вид г — r'd. Следовательно,
Щ = Е Е amid Е Qm2d Е e(adr'(dr' - 2)) e(2ad2r'm2n2),
d<2M M (т/1,тп)=1 тпг-г'Стойт)
л г/ Лг Nm—r' , . ( Л. x — r'd 2Nm—r'
N'=ma[N’-r~)- N*= mm (2JV- —)
Сравнение тзП2 = —r'(rnodm) равносильно сравнению п2 = —г'т'2 1 (modrri). Поэтому представляя «2 в виде 77,2 = —г'т!2х + тгті, находим интервал изменения
-/V| + г'т'21 / N2 + г'гпп1 „
.'V" = —1-—-А_ < п? < _= N'.
т ± 2 ~ т -у
Имея в виду, что R2 < 3MN,
e(2ad2r'm!2n2) = e(2otd2r' m'2(—r' m!2l + щт))
= e(—2ad2rl2rn2m'21)e(2ad2r,m'1m!2n2),