Оценка L-функций Гекке на половинной прямой

• Автор: Кауфман, Риветта Моисеевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Минск
• Количество страниц: 106 c. : ил

- 2 “
ГЛАВА I. Приближенные функциональные уравнения А.Ф.Лав-рика для - функций с гроссенхарактерами
Гекке
§ I. Вывод приближенного уравнения для случая
к - ряда Дирихле с характером по модулю к
§ 2. Вывод приближенного уравнения для случая
- рядов с групповыми характерами классов
поля К
§ 3. Вывод приближенного функционального уравнения для общего А,- ряда Гёкке с гроссенхарактером
§ 4. Оценка начальных членов приближающих рядов...
Глава II. Оценка А, - функций Гекке на половинной
прямой
§ I. Оценка А - функций Гекке Гауссового поля
на половинной прямой
§ 2. Оценка к ОД Л ) для случая полей
степени п. $ 4
§ 3. Распространение оценки ^ - функций Гекке
на поля любой степени
ЛИТЕРАТУРА

В вопросах распределения нулей ~ функций и связанных с ними арифметических задачах большое значение имеет получение хороших оценок соответствующих Ь ” функций на половинной прямой.
Для дзета-функции Римана (5) Г.Харди и Д.Литтльвуд [I - 3] (также Е.Титчмарш [4 , 5] ) получили на половинной
прямой оценку
[ £(1/1 + '^) |« t */€ . (I)
Впоследствии эта оценка еще улучшалась (например, [б , ?]). Кроме того, аналогичную (I) оценку получил Е.Титчмарш [в] для дзета-функции Эпштейна.
Целью данной работы является получение оценки, аналогичной (I), для I- функций с гроссенхарактерами Гекке. При этом представляется важным получить такую оценку одновременно по и по показателям гроесенхарактера, так как подобные оценки позволяют получать плотностные теоремы для I, - функции Гекке, равномерные по всем параметрам. Теоремы такого типа, вместе с равномерной по параметрам теоремой Й,П.Кубилюса [9] о сдвиге границы нулей вблизи 5 = 1 для - функций Гекке, дают возможность изучать распределение простых идеальных чисел поля в узких секторах (например, [9 - 12] ), причем "узость" сектора определяется качеством оценки по показателям гроесенхарактера. Заметим, что А.Матуляускас [13 , 14] получил для случая квадратичных полей оценки Д, - функций Гекке, но более слабые,чем (I). Кроме того, имеются тоже более слабые, чем (I), оценки для дзета-функции Дедекинда [15].
Для получения оценок и - функций на половинной прямой используются приближенные функциональные уравнения соответствующих

Ц, - функций. Если мы хотим получать оценки, равномерные по параметрам гроссенхарактеров, то нам лучше использовать уравнения Лавриковского типа ([16 - 19]). Заметим, что для квадратичных полей приближенные уравнения с равномерными оценками выводились, кроме работы [17] , в работах К.Булоты [20 , 21] и А.Матуляускаса [13 , 14 , 22]
В данной работе, в гл.1, приближенные уравнения А.Ф.Лаври-ка для случая - рядов с гроссенхарактерами Гекке будут выведены новым методом в удобном для нас виде. При этом применяется способ поворота контура интегрирования, аналогичный [23 ]
В §1 гл.1 рассматривается наиболее простой случай вывода приближенного функционального уравнения для - ряда Дирихле с характером по модулю (с . В §2 этой главы рассматриваются Ь -функции с круговыми характерами для произвольного алгебраического поля, где, в связи с бесконечностью группы единиц, появляются новые технические трудности. В §3 гл.1 выводится приближенное функциональное уравнение для общего случая произвольного V, - ряда с гроссенхарактером Гекке. Ив §4 гл.1 выводятся оценки для коэффициентов в приближенном уравнении для /[ - ряда с гроссенхарактером. В частности, при некоторых ограничениях на показатели гроссенхарактеров, выводятся оценки начальных членов рядов в приближенном уравнении, достаточные для получения оценок соответствующих - рядов Гекке, аналогичных (I).
И, наконец, в гл.П, с ограничениями на показатели гроссенхарактеров из §4 гл.1, будет получена оценка - рядов Гекке, аналогичная (I). При этом, в §1 гл.П будет получена оценка 1^ -рядов Гекке Гауссовского поля. В §2 гл.П будет получена оценка для - рядов Гекке в случае алгебраических числовых полей, степень которых не превосходит 4. И, в §3, - оценка будет распространена на случай полей любой степени. При этом оценка

Глава II.
ОЦЕНКА и - ФУНКЦИЙ ГЕККЕ НА ПОЛОВИННОЙ ПРЯМОЙ
§ I. Оценка I - функций Гекке Гауссового поля на половинной прямой.
В этом параграфе, фактически, излагается, по возможности кратко, метод оценки тригонометрических сумм, возникающих при использовании приближенных уравнений. Заметим, что в том случае, который мы сейчас рассматриваем - случае Гауссового поля - оценки можно провести методом, аналогичным методу Ван дер Корпута (например, [б ] ), примерно так же, как оценивались Титчмаршем аналогичные суммы в [ 8 ] . Здесь изложение будет проведено другим методом, потому что он легче распространяется на поля более высокой степени.
Лемма I. [30] . (Это лемма о частном суммировании). Пусть . . . - последовательность действительных чисел,
&'иг А и = и $(!=>) - непрерывно дифференцируемая на

отрезке А, -$■ *= ^ X (действительная или комплексная) функция. Тогда

л1Ч<А^х А1

А (В)
и любые комплексные числа.