Группы с условиями насыщенности

• Автор: Филиппов, Константин Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 122 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Известные факты
Глава 2. Группы, насыщенные Ь2(д) и центральными расширениями группы порядка 2 при помощи Г2(д)
§ 2.1. Периодические группы, насыщенные Ь2(д)
§ 2.2. Периодические группы, насыщенные <5Х2(д)
§2.3. Периодические группы, насыщенные Ь2(Ка) х22
§ 2.4. Группы Шункова, насыщенные Ь2(д)
§ 2.5. Группы Шункова, насыщенные 5Х2(д)
§ 2.6. Группы Шункова, насыщенные центральными расширениями группы порядка 2 при помощи Д2(д)
Глава 3. Группы, насыщенные конечными простыми неабелевыми группами
§ 3.1. Группы Шункова, насыщенные группами Ь2(рп), 5г(22п+1)
§ 3.2. Периодические группы с конечной силовской 2-подгруппой, насыщенные
группами Ь2{рп), 5г(22п+1)
§ 3.3. Периодические группы с бесконечной силовской 2-подгруппой насыщенные
группами Ь2(рп), Бг(22п+1)
§ 3.4. Периодические группы, насыщенные конечными простыми группами 1/з(2п)
§ 3.5. Периодические группы, насыщенные конечным множеством конечных простых неабелевых групп
§ 3.6. Периодическая группа Шункова, насыщенная простыми трёхмерными унитарными группами
§ 3.7. Периодические группы, насыщенные конечными простыми группами
Глава 4. Группы, насыщенные прямыми произведениями различных групп
§4.1. Группы Шункова, насыщенная прямыми произведениями конечных 2-групп
на группу Г2(5)
§ 4.2. Группы Шункова, насыщенные прямыми произведениями циклических групп
на линейные группы размерности два
§4.3. Группы Шункова, насыщенные прямыми произведениями циклических 2-
групп на группу Д2(5)
§ 4.4. Группы Шункова с одним условием насыщенности
Глава 5. Группы, насыщенные конечными группами периода
§ 5.1. Автоморфизм порядка 2 бернсайдовой группы В0(2, 5), переводящий образующие в обратные
§5.2. Автоморфизм порядка 2 бернсайдовой группы В0(2,5), действующий симметрично на образующих
§ 5.3. Централизатор четверной группы автоморфизмов бернсайдовой группы В0(2,5) 106 § 5.4. Диаметр Кэли одной подгруппы группы В0(2,5)
Библиография
Введение
В теории бесконечных групп значительное место занимают исследования бесконечных групп с различными условиями конечности, т.е. групп, которые по своему определению наделяются теми или иными свойствами конечных групп. Результаты исследований, представленные в данной работе, связаны с условием насыщенности группы заданным множеством групп.
Группа G насыщена группами из множества групп 9% если любая конечная подгруппа К из G содержится в подгруппе группы G, изоморфной некоторой группе из 93.
Понятие насыщенности впервые появилось и оформилось в работах А.К. Шлёпкина [38-46] и было обусловлено следующим обстоятельством.
При изучении групп с различными условиями минимальности (для всех подгрупп, абелевых подгрупп, примарных подгрупп и т.п.), как правило, необходимо было установить строение некоторой периодической группы с заданной системой конечных простых неабелевых подгрупп. Анализ этой системы подгрупп приводил в большинстве случаев к тому, что такая группа оказывалась локально конечной. Поэтому естественно было рассмотреть произвольную группу, содержащую данное множество конечных простых неабелевых подгрупп, в качестве самостоятельного условия конечности.
Как оказалось, “насыщенность” является естественным обобщением понятия покрытия группы. Понятие покрытия появилось в начале 60-х годов в работах П.Г. Конторо-вича [12,13]. В конце 60-х годов П.Г. Конторович, A.C. Пекелис и А.И. Старостин стали рассматривать покрытия в классах бесконечных групп [14]. Некоторый обзор результатов, полученных в данном направлении, можно найти в [14]. В начале 80-х годов В.В. Беляев [2] и независимо A.B. Боровик [3], С. Томас [60], Б. Хартли и Г. Шют [55] доказали следующую теорему:
Если локально конечная группа G обладает локальным покрытием, состоящим из множества подгрупп лиева типа, ранги которых ограничены в совокупности, то и сама G является группой лиева типа конечного ранга.
Напомним понятие локального покрытия. Множество 9Л подгрупп группы G называется локальным покрытием, если G = (J X и для любых X, Y е Ш найдется такой
хезп
элемент Z € £01, что X Ç Z и Y С Z. Если группа обладает локальным покрытием, состоящим из некоторого множества конечных групп, то она, очевидно, локально конечна, а для групп, насыщенных тем же множеством групп, это не всегда справедливо. Конструкция периодических произведений С.И. Адяна [1] позволяет строить периодические группы, насыщенные конечными множествами групп, содержащими любые конечные наборы групп нечётного порядка. Подобными свойствами обладают и примеры групп А.Ю. Ольшанского (см. [29-31]). И.Г. Лысёнок [19] и С.В. Иванов [53] показали, что группы В(т, п) при достаточно больших чётных п насыщены прямыми произведениями групп диэдра. Бесконечная локально конечная группа не может быть насыщена группами из конечного множества. То же самое справедливо и для групп Шункова с бесконечным числом элементов конечного порядка, так как они обладают бесконечными локально конечными подгруппами [40].
В связи с приведенной выше теоремой о локально конечных группах возник следующий вопрос, поставленный А.К. Шлёпкиным и вошедший в Коуровскую тетрадь [25] под номером 14.101:
Верно ли, что периодическая группа, насыщенная конечными простыми группами лиева типа, ранги которых ограничены в совокупности, сама является простой группой лиева типа конечного ранга?
Решением вопросов, связанных с понятием “насыщенности”, посвящены работы Б. Амберга, Л.С. Казарина, A.A. Кузнецова, Д.В. Лыткиной, В.Д. Мазурова, Д.Н. Панюшкина, А.Г. Рубашкина, А.И. Созутова, Л.Р. Тухватуллиной, А.К. Шлёпкина (см. обзор [63]). При этом в качестве групп насыщающего множества рассматривались не только простые группы. К направлению “насыщенности” относится и настоящая диссертационная работа.
Настоящая диссертация посвящена изучению периодических групп и групп Шун-кова, насыщенных различными множествами конечных групп, а также изучению групп периода 5. При этом используются методы локального анализа конечных групп, адаптированные к исследованию периодических групп. Кроме того, используются компьютерные вычисления для установления строения некоторых групп.
Результаты диссертации в период с 2005 по 2011 год были представлены на международных конференциях в Екатеринбурге, Красноярске, Нальчике, Новосибирске. В частности, на международной конференции по алгебре и геометрии, посвященной 80-летию со дня рождения А.И. Старостина (Екатеринбург, 2011), автором был сделан пленарный доклад по теме диссертации. Результаты работы неоднократно докладывались на семинарах КрасГАУ “Математические системы”, СФУ “Городской алгебраический семинар” и семинаре отдела алгебры и топологии ИММ УрО РАН. Основные результаты опубликованы с полными доказательствами в работах [61,70-75] и принадлежат лично диссертанту.
Основные результаты диссертации состоят в следующем:
1. Доказано существование периодической части в группах Шункова, насыщенных группами вида Liiq) (соответственно, SL2(q)), установлен её изоморфизм с группой L2(Q) (соответственно, SL2{Q)) над подходящим локально конечным полем Q (теоремы 2.4.1, 2.5.1).
2. Доказано, что периодическая группа Шункова, насыщенная множеством простых трёхмерных унитарных групп U2(q) над конечными полями, изоморфна группе U2(Q) над подходящим локально конечным полем Q (теорема 3.6.1).
3. Доказано, что если периодическая группа G насыщена конечными простыми неабелевыми группами и в любой её конечной 2-подгруппе К все инволюции лежат в центре К, то G изоморфна одной из следующих групп: Jb L2(Q), Re(Q),U3(Q), Sz(Q) для подходящего локально конечного поля Q (теорема 3.7.1).
4. Установлено строение периодической группы Шункова G, насыщенной прямыми произведениями X х У, где X принадлежит множеству групп вида Ь2(рп), Sz(22m+1), Re( 32s+1) и содержит элемент фиксированного простого порядка и нечетным порядком его централизатора, a Y принадлежит некоторому множеству конечных 2-групп. Доказано, что G = R х 02{G), где R изоморфна одной из групп L2(F), Sz(P), Re(E) для подходящих локально конечных полей F, Р, Е (теорема 4.4.1).
5. Получено описание централизатора инволютивного автоморфизма <р универсальной конечной бернсайдовой группы периода 5 с двумя образующими: Во(2, 5) = (ж, у), переставляющего её образующие. Доказано, что его порядок равен 517; 3 — минимальное число порождающих, ступени нильпотентности и разрешимости равны 6 и 3 соответственно; получено коммутаторное представление и найдены соотношения для базисных коммутаторов (теорема 5.2.1).

Лемма 2.3.14. С = Ca{t) = (t) х R, где R ~ L2{Q),Q — локально конечное поле характеристики 2.
Доказательство. Покажем вначале, что в С = С/ (t) централизатор любой инволюции — элементарная абелева 2-группа. Пусть v — инволюция из Я/(£), и V = (t,v). По лемме 2.3.13 Cq{V) — элементарная абелева 2-группа, порядок которой не меньше 16. Если теперь х 6 Cc(t) П Nq(V), то х — 2-элемент, нормализующий в Cg(V) конечную элементарную абелеву подгруппу S, порядок которой не меньше 16. По условию (S, х) < М <Е Д. Предложения 1.0.3 и 1.0.2 показывают, что {S, х) — элементарная абелева группа, поэтому х € Cg{V). Таким образом, Cg(<) П Nq{V) = Cg(V) и, следовательно, Cc{v) = Cc(V)/{t) — элементарная абелева группа.
Пусть теперь а — произвольная инволюция из С. Если порядок av нечетен, то а и г сопряжены. Если же порядок av четен, то существует инволюция ад, централизующая а и ад. Повторяя рассуждения из предыдущей леммы, покажем, что Сс(а) — элементарная абелева группа. Теперь, поскольку С содержит неразрешимую подгруппу H/(t), из предложения 1.0.34 следует, что С ~ L2(Q), где Q — локально конечное поле характеристики 2. Таким образом, С — объединение возрастающей цепочки Н < Й2 < ... таких конечных подгрупп, что Й, ~ L2{Ql), где Q, — конечное поле для каждого г, и Qi С Q2 С . , UQt = Q.

Если Нг — полный прообраз Я,, то Я, = (t) х L„ где Ьг = [Я,, Я,] ~ L2(Q,). Таким образом, Li < Ь2 < ... и Я = UL, ~ L2(Q). Поскольку 1 [Я,, Я,] для каждого г и UЯ, = С, то

t & [С, С] и, значит, С = (t) х R. Лемма доказана.
Лемма 2.3.15. Либо Co(t) = G, либо Q — бесконечное поле.
Доказательство. Если поле Q конечно, то Cc{t) — конечная группа и по предложению 1.0.14 G — локально конечная группа. Если при этом Cc{t) ф G, то для любого элемента х 6 G Co{t) подгруппа (Ca{t),x) конечна и, следовательно, должна лежать в некоторой группе из ОТ. Легко понять, что в этом случае х £ Cc{t). Это противоречие с выбором х показывает, что C'c(t) = G. Лемма доказана.
Таким образом, в дальнейшем можно предполагать, что поле Q бесконечно и, в частности, силовская 2-подгруппа из Ca{t) — бесконечная элементарная абелева группа. Отметим еще, что все силовские 2-подгруппы в Cc(t) сопряжены.
Лемма 2.3.16. Пусть V — подгруппа порядка 4 из C{t), и v — инволюция из V. Тогда Cg(v) П Nq(V) = С а (V) — элементарная абелева группа, являющаяся силовской 2-подгруппой из C(t).
Доказательство. По лемме 2.3.13 Е = Cg{V) — элементарная группа. Ясно, что t € Е и поэтому Е С C(t). Если S — силовская 2-подгруппа из C(t), содержащая Е, то по лемме 2.3.14 S элементарна и поэтому Е = Cc{V) ф S ф Е, откуда Е = S. Предположим, что Cc(v) П Nq{V) ф Е. Пусть х € Cg{v) П Nq(V) Е. Тогда х — 2-элемент конечного порядка, нормализующий Cg(V) = Е. Поэтому он нормализует в Е/V подгруппу К, порядок которой превосходит 4. Ее полный прообраз К — конечная неабелева 2-группа, содержащая элементарную 2-подгруппу порядка 16. Пусть Я < Я е Д1. Поскольку Я содержит элементарную подгруппу порядка 16, Я ~ Z2 х Ь2(2т) для некоторого числа т и по предложению 5 Я не может содержать неабелевых 2-подгрупп вопреки выбору К.
Итак, Cg(v) П Ng(V) = Е, и лемма доказана.
Лемма 2.3.17. Пусть v — инволюция из C{t). Тогда либо С = Cc{v) а (v) х Ь2{Р), где Р — бесконечное локально конечное поле характеристики 2, либо С — силовская 2-