Экспоненты многообразий коммутативных и антикоммутативных линейных алгебр

• Автор: Мищенко, Сергей Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Ульяновск
• Количество страниц: 82 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Предварительные сведения
1.1. Основные определения и обозначения
1.2. Рост многообразий в случае ассоциативных алгебр и алгебр Ли
1.3. Многообразия ассоциативного типа и многообразия экспоненциального роста
Глава 2. Экспоненты многообразий, порожденных алгебрами
2.1. Верхняя оценка экспонент многообразия гаг ИЛ
2.2. Нижняя оценка экспонент многообразия гагІРг
Глава 3. Реализация любой экспоненты в случае многообразия коммутативных или антикоммутативных алгебр
3.1. Бесконечное слово ги и построение алгебр А{и>), Асот(и>) и Ла„й(іу).

3.2. Доказательство теоремы об экспонентах многообразий уаг Асот(іи) и уагАапц{уо)
3.3. Построение 4-х мерной алгебры с дробной экспонентой роста многообразия
Литература

Введение
Линейной алгеброй называется векторное пространство, в котором определена операция умножения векторов, со свойством линейности по каждому аргументу. Классическими примерами служат: многочлены, алгебра матриц и, например, трехмерное пространство с операцией векторного умножения векторов, которое является знаменитой простой трехмерной алгеброй Ли.
При изучении линейных алгебр используются два естественных подхода. Первый состоит в непосредственном исследовании конкретной алгебры, второй - в исследовании не отдельной алгебры, а некоторого класса алгебр, имеющих какие-то схожие свойства. Обычно таким классом алгебр является многообразие, которое определяется как совокупность алгебр, в которых выполняется фиксированный набор тождеств. Задание набора тождеств может быть неявным, например, можно определить многообразие, порожденное какой-нибудь фиксированной алгеброй. И вообще, но теореме Биркгофа многообразием алгебр является класс алгебр, который устойчив относительно перехода к подалгебрам, гомоморфным образам и декартовым произведениям.
В случае нулевой характеристики основного поля любое тождество эквивалентно системе полилинейных тождеств, поэтому вся информация про многообразие V содержится в последовательности специальным образом определенных пространств Р„(V), п = 1,2
Одной из основных числовых характеристик многообразия является,
так называемая последовательность коразмерностей, которая определяется как числовая последовательность неотрицательных целых чисел сп(У) = <ИтРп{у), п = 1,2
В случае экспоненциального роста последовательность чисел у/сп(У) ограничена, поэтому существуют нижний и верхний ее пределы, которые называют нижней и верхней экспонентой многообразия. Если существует обычный предел, то говорят об экспоненте многообразия. Например, для многообразия ассоциативных алгебр, порожденным алгеброй Грассмана, последовательность коразмерностей имеет вид сп(V) = 2п~1 и поэтому экспонента этого многообразия равна 2.
Существование экспоненты любого многообразия, похоже, очень сложная и интересная задача. Пока все доказательства существования экспонент и нахождения их точных числовых значений даются авторам с большим трудом. Еще одна интересная проблема - поиск многообразий с целой экспонентой, а также, соответственно, нахождение примеров многообразий, у которых экспонента является дробным числом.
В 80-х годах прошлого столетия Амицур выдвинул гипотезу, что для любой ассоциативной алгебры с тождеством экспонента является неотрицательным целым числом. Эта гипотеза была подтверждена в работах [40]

полилинейный элемент свободной алгебры. Рассмотрим также множество
в = {/? = (А, А01А е {1,2
состоящее из |£>| — /гп элементов. Хорошо известно, что для проверки, будет ли в алгебре Иф выполняться тождество / = 0, достаточно подставить вместо образующих ту такие элементы
щ = 2“*1 ...г — 1,2

/3 = (/3
*=1 '
Несложные вычисления показывают, что для фиксированного /3 Е В

1р(и 1, Ц2, ,Цп) = ,/Д,

где Л.® многочлены степени не выше п — 1 от переменных
{аур г = 1
Размерность пространства таких многочленов равна биномиальному коэффициенту
гпк + п — 2 п — 1.
Поэтому получаем оценку сверху
<Ц„агиу < |В|. к . -2) = к”« -2). (10)
Пусть (ап)~ числовая последовательность, такая, что в = Нтп_»оо Формула Стирлинга позволяет получить следующую эквивалентность
+ ап (п+ап) (п + апУп+апепеа"

п ) пап еп+апппапп