Алгебро-топологические характеристики толерантных пространств

• Автор: Небалуев, Сергей Иванович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 121 с.

Оглавление
Введение
1 Категории толерантных пространств
1.1 Толерантные пространства и толерантные отображения
1.2 Категория толерантных гомотопических типов
1.3 Фундаментальная группа толерантного пространства
2 Группы гомологий толерантных пространств
2.1 Определение групп гомологий толерантного пространства .
2.2 Аксиома толерантной гомотопии для гомологий толерантных
пространств
2.3 Сравнение различных определений гомологий
2.4 Связь между фундаментальной группой и группой
одномерных гомологий толерантного пространства
2.5 Точные последовательности в теории толерантных пространств
2.6 Группы гомологий прямого произведения толерантных
пространств
3 Толерантные вложения и гомологические эквивалентности
3.1 Гипотеза Зимана
3.2 Хорошие покрытия толерантных пространств
3.3 Дискретные толерантные вложения и гомологические
эквивалентности
Литература

Введение
Методы гомологической алгебры уже давно и успешно применяются при изучении самых разнообразных математических объектов алгебраической, геометрической и аналитической природы, таких как группы, кольца, поля, алгебры, топологические пространства, дифференциальные формы и др. В 1956 году была опубликована работа Доукера [24] по гомологической теории произвольных отношений. После появления этой работы естественно встал вопрос: какие гомологии и каких отношений представляют интерес для математики и ее приложений. Вскоре, Зиманом [30] был определен класс отношений толерантности, которые оказались весьма интересными и с математической и с прикладной точки зрения, и для которых гомологическая алгебра является естественным инструментом изучения.
Диссертационная работа посвящена изучению толерантных пространств, определяемых толерантными отношениями, средствами гомологической алгебры и алгебраической топологии. На актуальность понятия толерантного пространства и важность изучения свойств таких пространств лучше всего указывают следующие слова М. Арбиба [1], который первым стал активно использовать толерантные пространства в теории автоматов.
"Каждый раз, когда речь заходит об использовании понятия непрерывности, специалист по теории автоматов испытывает острую зависть к специалисту по теории управления. В связи с этим возникает следующая задача: "Как определить содержательную топологию на
дискретном множестве, отличную от дискретной топологии? "Для тех ученых, которые используют конечные автоматы в виде нервных сетей с целью построения грубых моделей мозга, может оказаться интересным такой вопрос: "Каково должно быть определение непрерывности, чтобы она естественно присутствовала в поведении конечных автоматов?"Ответ на этот вопрос Арбиб получил, систематически применяя теорию толерантных пространств, разработанную Зиманом.
Английский математик Зиман, изучая работу зрительного

анализатора, предложил наиболее общую математическую модель понятия схожести. Идея Зимана заключалась в том, что, при максимально абстрактном и широком подходе, отношение схожести объектов должно удовлетворять лишь двум свойствам: оно должно быть рефлексивным и симметричным. Такие бинарные отношения Зиман назвал отношениями толерантности. А пару, состоящую из множества и заданного на этом множестве отношения толерантности, Зиман определил как толерантное пространство (или пространство толерантности). В представленной работе толерантные пространства являются основным объектом изучения.
При исследовании работы зрительного аппарата обращает на себя внимание тот факт, что глаз не различает точек достаточно близких друг к другу. Однако такая неразличимость точек не является их полным тождеством. Близкие точки для глаза становятся как бы "похожими" друг на друга. Но последовательность "похожих" точек может соединять и весьма удаленные, и поэтому "не похожие" друг на друга, точки. Это говорит о том, что свойство транзитивности здесь отсутствует. Такая же ситуация имеет место и при приближенных вычислениях и измерениях. Подобные идеи явились начальным мотивом для определения толерантных пространств. Однако отметим, что определение Зимана, включая эти первоначальные примеры, далеко выходит за их рамки и становится абстрактной математической моделью сходства вообще. Тождество или эквивалентность объектов, при котором имеет место еще и свойство транзитивности, является предельным (вырожденным) случаем этой модели.
Интуиция и опыт подсказывают нам, что, устанавливая сходство между объектами, мы можем "плавно" переходить от данного объекта к другому. Поэтому не удивительно, что первым, кто обратил внимание на толерантные пространства, были специалисты по теории автоматов. М. Арбиб, цитируемый выше, был родоначальником этого направления в теории автоматов (см. работы [21],[22],[1]). Таким образом, теория толерантных автоматов возникла благодаря желанию определить на дискретных пространствах входов, состояний и выходов автомата некие "непрерывные" структуры, так чтобы и функции переходов и выходов автомата обладали бы свойством "непрерывности". Основным инструментом для этого стали толерантные пространства.
Однако, сама теория толерантных автоматов естественно приходит

предположениях построим новое отображение F * G : 1п+-п х Is
такое что

(Ук = 0, 2n)(Vl = 0, s)
к l _ ИП)

2 п s

' к—п Г
Стандартная проверка показывает, что F * G- толерантное отображение, осуществляющее толерантную гомотопию шп * уп ~ ш’п * y'n(rel {0,1}). Тем самым доказана лемма 1.3.3, которая обеспечивает корректность определения произведения классов путей (1.23).
Докажем теперь ассоциативность произведения (1.23). Пусть
шп, ш'т, со'р- пути в пространстве (X, г), такие что end шп — orig ш'т и
end ш'т = orig ш'р. Надо показать, что
(ип * со'т) * bJ'p ~ Ldn * (ш'т * £ü") (1.31)
Распишем левую часть в (1.31), как отображение 1(п+т)+р —у X:
(соп * ш'т) * ш'.

(n Т т) + р/ шп*ы'т (zfe) , О^к^п + т;
со'р ( - ^, n + m^fc^n + m+p.

J (k—П> m
Л (к—(п+т)

О ^ к ^ re; n ^ Ä ^ n + m;
), n + m^/c^re + rre + p.
Аналогично, правая часть: /
/ / //Ч 7 ^
* (com* wp)
п + (ш + р)
(|) , 0 ^ к ^ п;
/ fc—п
* w" (^J , n < fc < n + m + р.
О ^ /с ^ re;
О ^ к — re ^ т; т^к — п^т + р.

/ Гк=п т т / ’
, .я / (fc-n)+7n

— I со.

4 (*?).
// / fc—(п+ш)

О ^ к ^ п;
п ^ к ^ п + т;
п + т^к^п + т + р.