Конечные группы с системой обобщенно центральных элементов

• Автор: Шеметкова, Ольга Леонидовна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Брянск
• Количество страниц: 81 с.

Перечень определений и условных обозначений

Общая характеристика работы

Глава 1. Обзор результатов

Глава 2. Предварительные сведения

2.1. Методы доказательств

2.2. Используемые результаты

Глава 3. ^критические подгруппы

3.1. Постановка задачи

3.2. Свойства ^критических подгрупп

Глава 4. Два вопроса о группах с системой ^^центральных элементов

4.1. Постановка задачи

4.2. Вопрос А
4.3. Вопрос В
4.4. К теореме С.Н.Черникова
Выводы
Список используемых источников
ПЕРЕЧЕНЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Рассматриваются только конечные группы. Используемые стандартные обозначения, определения и классические результаты по теории групп можно найти в [1 - 3], а по теории классов групп — в [4 - 7].
Класс групп — совокупность групп, содержащая с каждой своей группой и все с ней изоморфные группы.
(£ — класс всех групп.
91 — класс всех нильпотентных групп.
— класс всех д-групп, где q — простое число.
11 — класс всех сверхразрешимых групп.
р — фиксированное простое число.
р' — множество всех простых чисел, отличных от р.
Р — множество всех простых чисел.
7г(С)— множество всех различных простых делителей порядка |С?| группы
7г($) — объединение множеств 7г(Сг), где (? пробегает все группы из класса
Ср — некоторая силовская р-подгруппа группы б.
Ф(б) — подгруппа Фраттини группы С.
р-замкнутая группа — группа, в которой силовская р-подгруппа нормальна.
р-нилъпот,ентная группа — группа (3 такая, что б = СрН, СрПЯ = {1} и подгруппа Н нормальна в О.
р-сверхразрешимая группа — группа, каждый индекс главного ряда которой либо равен р, либо не делится на р.
р-91 — класс всех р-нильпотентных групп.
р-11 — класс всех р-сверхразрешимых групп.
ЕР(С7) — наибольшая нормальная р-нильпотентная подгруппа группы (?.
Е(Сг) — подгруппа Фиттинга, т.е. наибольшая нильпотентная нормальная подгруппа группы С.
Е*((7) — обобщенная подгруппа Фиттинга, т.е. наибольшая квазинильпотентная нормальная подгруппа группы G.
Op(G) — наибольшая нормальная р-подгруппа группы G.
Ор: (G) — наибольшая нормальная р'-подгруппа группы G.
F*(G) — подгруппа группы G, определяемая равенством
Fp(G)/Op(C) = F*(G/0„(G)).
К Сд(Н/К) — централизатор фактора Н/К в G.
3-корадикал G5 группы G — пересечение всех тех нормальных подгрупп К группы G, для которых G/K € 3Формация — класс групп 3" такой, что : 1) гомоморфные образы групп из 3 принадлежат 3; 2) из G/А Є 3 и G/B € 3 всегда следует G/А П В Є 3S-замкнутая формация — формация 3 такая, что всякая подгруппа любой группы из 3 принадлежит 3Sn-замкнутая формация — формация 3 такая, что всякая нормальная подгруппа любой группы из 3 принадлежит 3Насыщенная формация — такая формация 3, что из G/(G) Є 3 всегда следует G Є ЗЛокальный спутник (или 1-спутник) — функция /, сопоставляющая каждому простому числу q некоторую формацию f(q).
Локальный р-спутник (или 1р-спутник) — такой /-спутник, что f(q) = £ для любого простого q, отличного от р.
S-замкнутый (Sn-замкнутый) 1-спутник — /-спутник / такой, что формация f{q) является S-замкнутой (^„-замкнутой) для любого простого числа ЧСекция — факторгруппа некоторой подгруппы группы G.
pd- группа — группа, порядок которой делится на простое число р.
Фраттиниев главный фактор — такой главный фактор А/В группы G, что А/В содержится в подгруппе Фраттини Ф(G/J5) группы G/B.
/-центральный главный фактор (где / — /-спутник) — главный фактор А/В группы G такой, что G/Cg{A/B) Є f(q) для любого простого q Є я {А/В).
/-эксцентральный главный фактор — главный фактор, не являющийся /-центральным.

В разрешимой группе подгруппа Фиттинга совпадает с обобщенной подгруппой Фиттинга. Поэтому из следствий 4.2.7 и 4.2.8 в разрешимом случае получаем следующие два результата.
4.2.9. Следствие. Пусть $ — насыщенная формация, Н — такая разрешимая нормальная подгруппа группы С, что О/Н £ Предположим, что каждый элемент из I¥{Р{Н)) О^-централен в й. Тогда О £ $.
4.2.10. Следствие. Пусть $ — непустая насыщенная формация, С — разрешимая группа. Если каждый элемент из И^(^(С)) 0^-централен в С, то О £ 5".
4.2.11. Следствие. Пусть Н — такая нормальная подгруппа группы С, что й/Н нилъпотентна. Если каждый элемент из У(Е*(Н)) ф-централен в С, то О нилъпотентна.
4.2.12. Следствие. Пусть Н — такая нормальная подгруппа группы (7, что С/Н сверхразрешима. Если каждый элемент из Ш(Е*(Н)) ДН-централен в С, то (7 сверхразрешима.
4.2.13. Следствие. Если каждый элемент из П/(77'*(С)) является <5-центральным в С, то (7 нилъпотентна.
4.2.14. Следствие. Если каждый элемент из IV(Я* ((7)) является <211-центральным в О, то О сверхразрешима.
На самом деле, результаты следствий 4.2.4 и 4.2.7 можно улучшить, если воспользоваться понятием полуинтегрированного /-спутника.
4.2.15. Следствие. Пусть $ — ЬЕ(ф), где / — полуинтегрированный 1-спутник. Пусть ж = {у £ Р : /( Доказательство. Каждому простому числу у £ ж поставим в соответствие такой ^-интегрированный /^-спутник, что Д(д) = /(д). Если а £ У/Ч{Н), у £ ж, то по условию найдется такой /-центральный главный фактор А/В группы (7, что а £ АВ; ясно, что А/В является и Д-центральным главным фактором. Применяя теорему 4.2.1 к группе (7, ее нормальной подгруппе Я*(Я) и формации £Я(Д), получаем, что Я*(Я) Д-гиперцентральна в б