Параболические факторизации редуктивных групп

• Автор: Синчук, Сергей Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 96 с. : ил.

Содержание
Введение
1 Основные определения и конструкции
1.1 Группы Шевалле
1.2 Предварительные сведения о группах Стейнберга
1.3 Гиперболические унитарные группы
2 Условия стабильности
2.1 Стабильный ранг
2.2 Абсолютный стабильный ранг
2.3 Стабильный ранг форменных колец
2.4 Условия стабильности типа Бака
3 Относительные группы Стейнберга
3.1 Релятивизация Стейна
3.2 Определение относительных групп Стейнберга
3.3 Свойства относительных групп Стейнберга
4 Разложения типа Денниса—Васерштейна и их приложения
4.1 Основная редукция
4.2 Стабилизация относительных Кц Кг
4.3 Параболические факторизации групп Стейнберга
4.4 Предстабилизация К^Вц Д) и Кх(С;, В)
4.5 Улучшенная стабилизация КГТ1 и К ГА
Список литературы

Введение
Проблема стабилизации в алгебраической К-теории заключается в нахождении достаточных условий на кольцо Я. при выполнении которых отображения К,(п, К) —> КДп + 1, К) между нестабильными К-функторами оказываются изоморфизмами. Данную задачу можно условно разделить на четыре частных подзадачи, каждая из которых рассматривалась в отдельном контексте:
• сюръективная стабилизация Кр.
• инъективная стабилизация Кн и сюръективная стабилизация Кг;
• инъективная стабилизация Кг;
• стабилизация для функторов К,, г > 2.
Впервые проблема стабилизации для линейного Кгфунктора была затронута X. Бассом в работе [39]. Басс доказал, что для конечной алгебры А над нетеровым коммутативным кольцом Я размерности Крулля с? и произвольного идеала I < А отображение КДс? + 1, А,/) —> КДс/ + 2, А, I), индуцированное естественным вложением линейных групп
оказывается сюръективным. Последнее утверждение можно сформулировать в виде равенства
СЦ(1+1,А,1) СЦс1 + 2,А,1),
СЦс1 + 2, А, I) = ЕД + 2, А, I) • СЦй + 1, А, /).

Кроме того, Бассом была высказана гипотеза, что при тех же предположениях на основное кольцо имеет место инъективность отображения
КДй + 2, А, I) ВД + 3, А, /),
или, что то же самое,
СЦ«г + 2, А, I) П Е{(I + 3, А, I) = Е(с? + 2, А, I).
Данная гипотеза была доказана Бассом в совместной с Дж. Милнором и Ж.-П. Серром классической работе [2]. Позднее в [10] Л. Васерштейн пе-редоказал данную гипотезу, существенно упростив первоначальное доказательство Басса.
В монографии [1] Бассом была сформулирована общая проблема о нахождении достаточных условий для биективности отображений К [-функторов, индуцированных вложениями полупростых алгебраических групп. При этом Басс предлагал формулировать такие условия в терминах размерности Крулля основного кольца и размерностей максимальных расще-пимых торов.
Пусть Ф - приведенная система корней ранга > 2. а В. - произвольное коммутативное кольцо. Обозначим через 0(Ф, —) односвязную аффинную групповую схему Шевалле-Демазюра типа Ф. Для систем корней Ф, не содержащих неприводимых компонент ранга 1, и произвольного коммутативного кольца В. в группе С(Ф, В) можно выбрать нормальную подгруппу Е(Ф,Л), называемую элемент,арной подгруппой. Элементарная подгруппа Е(Ф,Д) порождается элементарными корневыми унипотентами £а(£) для а 6 Ф, £ 6 В.
Группа Стейнберга ЭДФ, В) определяется как группа, заданная формальными образующими ха(£) и соотношениями Стейнберга, т.е. тожде-
2 Условия стабильности
На протяжении настоящего раздела Я обозначает произвольное ассоциативное кольцо с единицей, а I < Я - его произвольный двусторонний (возможно, совпадающий с Я) идеал.
В настоящем разделе мы намереваемся дать краткий обзор встречавшихся ранее в литературе условий стабильности и конкретизировать их взаимосвязь.
2.1 Стабильный ранг
Самым простым и известным из условий стабильности является понятие стабильного ранга, введенное X. Бассом и Л. Васерштейном (см. [10], [39]). Строка (ах,... ,ап) £ пЯ называется I-унимодулярной, если элементы <ц — 1, а,2,..ап содержатся в идеале I, а а,..., ап порождают кольцо Я как правый идеал. Иными словами, можно выбрать
Ь,... ,Ьп & Я, такие, что щбх -I-... апЬп = 1.
По аналогии, столбец {Ь,...Ъп)Т 6 Яп называют I-унимодулярным, если компоненты столбца Ъ,...,Ъп порождают Я как левый идеал, а Ъ — 1, Ъ2,..., Ьп содержатся в I.
Для множеств унимодулярных строк (соответственно, столбцов) используется обозначение итс1(гг,Д, I) (соответственно, ит.ч(п, Я. /)). В ситуации, когда Я = I, /?-у н и модулярные строки (соответственно, столбцы) мы будем называть просто унимодулярными строками (соответственно, столбцами) .