Многообразия групп простого периода и тождества с высокими степенями

• Автор: Кожевников, Павел Александрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 59 с. : ил.

Оглавление
Введение
1. Основные определения и факты
1.1. Градуированные копредставления и диаграммы
1.2. Периодические копредставления и копредставления с условием Я
1.3. Вспомогательные предложения
2. Группы с непериодичным коммутантом, в которых произведения к коммутаторов имеют ограниченный период
2.1. Градуированное копредставление группы (?(оо)
2.2. Проверка тождества ([жх, ух][ж2,уг] [ж*, у*]) = 1 и непери-одичности коммутанта
3. Бесконечная независимая система тождеств {[жр, ур]п = 1}
3.1. Соотношения группы (оо)
3.2. Доказательство теоремы
4. Многообразия групп большого нечетного периода
4.1. Задание группы С(Т)г(оо)
4.2. Проверка условия Я и выполнения тождеств
4.3. Периодические подслова слов гДа,6)г и Щ(о)(а,Ъ)
4.4. Независимость тождеств Ю1(сг)(х,у)
внутри многообразия Вр

Введение
Проблемы о существовании бесконечных конечно-порожденных периодических групп, сформулированные Бернсайдом, положили начало для большого числа вопросов, связанных с тождествами и соотношениями периодического вида в группах.
Большим достижением явилось доказательство существования бесконечных групп с двумя порождающими, в которых выполнено тождество хп = 1 для достаточно большого нечетного п, тем самым было получено отрицательное решение ограниченной проблемы Бернсайда для достаточно большой нечетной экспоненты [12] (для п > 4361), [2] (для п 665). Используя геометрическую интерпретацию вывода соотношений в группах, А.Ю. Ольшанский получил более короткое по сравнению с оригинальным решение ограниченной проблемы Бернсайда для нечетных п > Ю10 [16], [26], [13]. Геометрический подход, использовавшийся в [15] и в упомянутых работах, оказался эффективным при решении многих других вопросов.
Целью диссертации является дальнейшее развитие геометрического метода в изучении соотношений, содержащих высокие степени, и применение этого метода для получения некоторых новых результатов в теории групп.
Диссертация состоит из четырех глав.
В первой главе приводятся основные определения и известные факты, которые потребуются в дальнейшем. В параграфе 1.1 определяются основные понятия градуированного копредставления и диаграммы над копред-ставлением, формулируются леммы ван Кампена и Шуппа, являющиеся базовыми для геометрического метода в изучении соотношений в группах. В параграфе 1.2 рассматриваются специальные виды непредставлений — периодические копредставления, содержащие соотношения вида АПА = 1, а также копредставления с условием Д, в которых допускаются также соотношения нестепенного вида. Приводятся определения, касающиеся диаграмм над периодическими копредставлениями и копредставле-ниями с условием Д. В отдельный параграф 1.3 включены утверждения из [13], а также некоторые другие известные предложения, на которые по-

надобятся ссылки в главах 2-4. Используемые в диссертации понятия (за исключением нескольких видоизменений, о которых будет упомянуто особо) подробно и в большей полноте описываются в [13, гл. 4-8]. Поэтому в первой главе делается упор лишь на материал, непосредственно используемый для получения результатов диссертации.
Во второй главе приводятся примеры групп, дающие, в частности, отрицательный ответ на вопрос 13.34 из [9], записанный В.Д. Мазуровым: периодичен ли коммутант группы, в которой выполнено тождество [х,у]п = 1? Более того, для достаточно большого нечетного га, зависящего от к, строится группа, удовлетворяющая тождеству ([хьу1][ж2,У2] [хк,Ук])П = коммутант которой непериодичен. В связи с упомянутыми примерами отметим утверждение, доказанное П.В. Шумяцким [28]: коммутант финитно аппроксимируемой группы, удовлетворяющей тождеству [х,у]рт = 1 является локально конечной (и следовательно периодической) группой для любого простого р и натурального т.
В третьей главе рассмотрена бесконечная система групповых тождеств {[хр, ур]п = 1}, где га — фиксированное достаточно большое нечетное число, являющееся степенью простого числа, а р пробегает множество простых чисел. Доказывается, что данная система тождеств независима, т.е. никакое из тождеств не является следствием остальных. Тем самым многообразие групп, заданное этой системой тождеств, является еще одним примером многообразия групп без конечного базиса тождеств. Различные решения проблемы конечного базиса тождеств в группах были даны в работах [16], [1], [30]. Независимая бесконечная система групповых тождеств, предложенная в [1], имеет вид {[хрп, урп]п = 1}, где п — нечетное число, га 4361 (в [2] оценка снижена до га 1003), р пробегает множество простых чисел. А.Л. Шмелькин обратил внимание автора, что системы тождеств, сходные с системой {[жр, ур]п = 1}, были рассмотрены также в [6]. Однако при простом га независимость системы тождеств {[жр, ур]п = 1} не следует из [6].
Четвертая глава является основной. В ней указано континуальное семейство 1Аа различных многообразий периода р для достаточно большого нечетного р, обладающее следующими свойствами: каждые два различных многообразия семейства в пересечении дают многообразие абелевых групп периода р; каждое из многообразий рассматриваемого семейства задается бесконечной независимой системой тождеств. Тем самым, в частности, решается вопрос о -существовании не конечно базируемых многообразий большого простого периода. Во всех известных ранее примерах многообразий конечного периода без конечного базиса тождеств (см. примеры

2) Если С — простое в ранге j слово или период второго типа ранга не выше j, то как было отмечено, оно имеет бесконечный порядок в G(j). Поэтому т = Ш, md = md и утверждения а), б) леммы доказываются как и в первом случае рассмотрением диаграммы, полученной из исходной кольцевой диаграммы отождествлением путей 2-®зЗ и (MHi)-1- В этом случае ситуация лишь упростится — в диаграмме А не будет клеток, согласованных с контурами Cmd и C~md, и значит метки этих контуров останутся без изменений. □

Лемма 4.2. Пусть U,V — некоторые слова такие, что Vd UVd'U~l£l для некоторого j, где d d' Ad. Пусть также А — период ранга не выше j или простое в ранге j слово, такое что [Vd UVd'U~l]AG Пусть VCm, где слово С — период ранга не выше j или простое в ранге j, причем С = А, если С~А±Х. Пусть также известно, что т 100С-1. Тогда справедливы следующие утверждения.
а) 1 |/| 100С-1, т.е. показатель / можно выбрать с условием
1 < |/j ç юос-1.
б) аЦ > cicmd'.
Доказательство. Нужные оценки получаются как и в лемме 4.1 преобразованием диаграммы сопряженности слов Vd', UVd'U~l] и А-1 в диаграмму на сфере с тремя дырами. При этом пользуемся тем, что d md' 40QC_1d < р — d (ПМП) и следовательно md1 = md'. □
Леммы 4.3-4.6 доказываем совместной индукцией по г. Для доказательства лемм 4.3-4.5 пользуемся леммой 4.6 в ранге i — 1, таким образом предполагаем, что копредставление группы G(i — 1) удовлетворяет условию R.
Лемма 4.3. Пусть А -— период ранга не выше г — 1 или простое в ранге
i — 1 слово, такое что Vt(X, У)~ А? для некоторых слов X,Y таких, что i-i
wt(a)(X, Y) ф 1 ut G {1,2,3
Доказательство. Для установления оценки |/| 1 докажем, что из равенства vt(X, Y)*=1 следует равенство гиД'оДХ,У)*=1 (заметим, что это очевидно в случае at = 0 в силу выбора показателей г/, в слове
Wf(a)(x,y)). Для этого достаточно показать, что из vt(X,Y)l= 1 следует [X, У] = 1. Докажем это индукцией по t.