Конечные p-группы с циклическим коммутантом

• Автор: Финогенов, Антон Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 68 с.

Оглавление
1 Введение
1.1 Обсуждение тематики
1.2 Основные результаты
1.3 Апробация результатов
2 Определения и вспомогательные результаты
2.1 Обозначения и определения
2.2 Собирательная формула Ф.Холла
Лемма
Предложение
Предложение
2.3 Группы с циклическим коммутантом
Лемма
Лемма
Лемма
Лемма
Лемма
Предложение
Лемма
3 Группы с циклическим коммутантом
3.1 Конечные 2-группы с циклическим коммутантом
Теорема
3.2 Группы с циклическим коммутантом и циклическим центром
Лемма
Теорема
Лемма
Теорема
Лемма
Лемма

4 Группы и кольца Ли
4.1 Случай с£(<3) < р
Лемма
Лемма
Определение
Предложение
Предложение
Теорема
Предложение
4.2 Случай с1(С) >р
Определение
Теорема
Лемма
Следствие
Лемма
Лемма
Теорема
Лемма
Лемма
Лемма
Литература

1 Введение
1.1 Обсуждение тематики
По теореме Силова конечная группа содержит подгруппы, порядок которых — степень простого числа р. Поэтому знания о детальном строении р-групп могут быть полезны в решении многих задач, связанных с конечными группами. Например, результаты исследований конечных 2-групп оказали значительную помощь в классификации конечных простых групп.
Конечные р- группы являются весьма сложным объектом для изучения, так как с ростом порядка группы разнообразие в строении р-групп и их количество возрастает черезвычайно быстро. Например, неизоморфных 2-групп порядка 26 уже более тысячи. Поэтому особый интерес представляет поиск и изучение тех классов р-групп, которые поддаются детальному описанию.
Один из таких классов — конечные р-группы с циклическим коммутантом. Он интересен и тем, что любая неабелева р-группа обязательно содержит подгруппу с неединичным циклическим коммутантом.
Первая часть диссертации посвящена изучению этого класса р-групп. Одним из первых результатов на эту тему было описание (с точностью до изоморфизма) экстраспециальных1 групп, полученное Ф.Холлом [15]. Эти группы особым образом (при помощи центрального произведения2) собираются из двух двупорожденных групп порядка р3.
Существует множество работ, в которых с разных точек зрения изучались группы с циклическим коммутантом и некоторыми добавочными условиями (смотри, например, [8], [19], [24], [4], и [26]). Наиболее широкий класс — р -группы с циклическим коммутантом при р > 2 и 2-группы С с циклическим коммутантом и дополнительным условием [С?, С] С [С, С?]4 ,
1Это р-группы, у которых центр и подгруппа Фраттини имеют порядок р.
2Центральное произведение — это гомоморфный образ прямого произведения, в кото-
ром “склеиваются” только подгруппы из центров сомножителей.

(b) G — группа типа (4-Ь) и exp(D) < |с| рк;
F) G — группа типа (6) и exp (D) < ps.
Доказательство теоремы 2.
По лемме 3 выполнено Р — G * D, где D — Cp(G). Поскольку D' С G' П CG{a) = ((ЪРксУ), то D' < рк
Рассмотрим два случая. Если у группы Р ехр(Ср(Р')) -р1 < ехр(Р), то аналогичное условие выполнено и для G (так как exp(G) < exp(D) влечет exp(Ср(Р')) = exp(Р)). Из леммы 8 следует, что в этом случае G типа (1.с) или (2.с), значит, Р типа (А.с) или (В.с). Неравенства exp(D) < pm+s и exp(D) < ps+k-m в Группах (А.с) и (В.с) очевидно следуют из условия exp(D) р1 < exp(G).
В случае, если ехр(Ср(Р'))-рг > exp(Р), мы можем считать, что Ъ > ехр(Cp(G')). Действительно, если бы существовал элемент d, G CP(G') и d > |Ь|, то по (3) леммы 5 для некоторого натурального а [dba, о] = 1, bdba € Cp{G'), [bdba, о] = [b, а], и, как легко проверить, группа (a)(bdba)(c(db°‘)~p ) удовлетворяет соотношениям из леммы 4. Применив к ней преобразования из доказательства леммы 8, приведем ее к виду (1) — (6), при этом |Ь| (равный ехр(Cc(G'))) не изменится.
Из |6| > exp(Cp(G')) вытекают соответствующие неравенства в условиях (А.а), (А.Ь), (В.a) (B.b), (D.a) и (D.b) в формулировке теоремы.
Докажем, что, если G — типа (С) или (Е), то ехр(П) < с-рк. Пусть d 6 D и d > с-рк . Рассмотрим группу (a)(6)(c), где b = bda и с = c(d~pk)a. Поскольку [а, Ь] = [а,Ъ] = Ьркс = (bda)pkc(da)~pk = l/c, (a){b)(c) удовлетворяет соотношениям из леммы 4. Так как D' < рк, по (1) леммы 5 d~p £ Z(P), и, значит, с £ (d~p ). Следовательно, при подходящем а с = 1 и (a)(6)(c) — метациклическая р-группа.
Таким образом мы доказали неравенства в условиях (С.а), (С.Ь), (Е.а) и (Е.Ь) в формулировке теоремы.