Свободные и несвободные группы дробно-линейных преобразований

• Автор: Игнатов, Юрий Александрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Тула
• Количество страниц: 91 c. : ил

ГЛАВА I. СВОГОДНЫЕ ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ДВУМЯ

ДРОБНО Л ШЕЙНЫМ ПРЮБРАЭОВАНИЯШ

§ I. Определения и теоремы, необходимые

для дальнейшего изложения

§ 2. Свободные группы

§ 3. Дополнительные результаты о свободных

точках

ГЛАВА 2. НЕСВОБОДНЫЕ ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ДВУМЯ

ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫМИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯМ

§ I. Построение областей несвободных точек

§ 2. Несвобода корней из единицы

§ 3. Рациональные несвободные точки
ГЛАВА 3. СЮ ВОДНЫЕ ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ТРЕМЯ
ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫШ ПРЕОБРАЗОВАНИЯМ!
Заключение
Список литературы
В самых различных областях науки с успехом применяются матричные представления изучаемых объектов. В связи с этим особый интерес всегда представляло и представляет изучение одного из основных разделов теории групп - линейных групп, с которых по существу и начиналась современная теория групп. В частности, большое значение имеет такой раздел, как свободные линейные группы, особенно в свете альтернативы Титса[2б] . В настоящей диссертации рассматривается вопрос, в каком случае дробно-линейные преобразования расширенной комплексной плоскости, которые можно задать квадратными матрицами второго порядка, являются свободными образующими порожденной ими. группы.
В 1940 году Д.й.Фукс-Рабинович [18] получил матричное представление -.свободной группы ранга 2. Элементами группы являлись квадратные матрицы второго порядка. Это представление было довольно, сложным, в записи элементов штриц использовались трансцендентные числа.
В 1947 году Й.Н.Санов [17] получил простое представление, показав, что группа, порожденная матрицами
(*■ 2 (1
о и и (1 и
является свободной. Санов полностью описал матрицы, являющиеся элементами этой группы, а именно, показал, что они имеют вид
2к
9~ { +
где I , к , ( и к - любые целые числа, выбранные с единственным условием: определитель О/ равен I.

В 1955 году Бреннер [21] доказал, что группа Су , порожденная двумя матрицами
4*=(о '/) и ^=(/< ?)> со-°
имеют вид /+к„^иг 4у"
V' 2 + V"
:ем I.

и <г
°(21 °*21
с целыми и определителем I. Матрица /VI принадлежит группе ^ , если отношение I 1 не лежит между корнями уравнения
тх-/(Х + {
При = 2 группа сводится к случаю, рассмотренному Сановым.
Впоследствии, в 1960 году, Бреннер [22] уточнил свой результат, показав, что найденное условие является необходимым, но не достаточным.
Результат Бреннера обобщется для комплексных чисел уи : группа, ^ является свободной для всех и>1 .Из того, что группа Су является свободной для некоторого уи , следует непосредственно, что Су свободна для всех трансцендентных у* , Кроме этого, группа Су свободна для любого алгебраического уи . имеющего алгебраическое сопряженное ул* , для которого соответствующая группа свободна.
В 1956 году.Хирш [27] поднял вопрос, для каких алгебраических у/ , в частности, действительных -2<уи < 2 , группа свободна. Между -2 и .2 бесконечно много значений
А , для которых не свободна. В частности, при
Си есть полная унимодулярная группа,
Доказательство. Слог В п , стоящий в начале слова в конце слова УУ , на значение элемента Ра иА> не влияет. Тогда, согласно лемме 2.1,
а'(Ч/5)=гс;

■ ■ ■

суммируется по всем
Сравнивая с (2.5) и (1.9), убеждаемся, что С2£-1 С2Ь-1 ’
следовательно, р^Ы, &) ~р/г(*/) • Лемма доказана.
Леша 2.3. Пусть слово ИКА, В) , где А~Аи и В ~ Вр , имеет вид (2.2). Пусть слово
Ш,В)=^В°71е'. . . А'е‘В°1
получается из слова М1, В) заменой госледовательности показателей на обратную, т.е. ^ заменяется на и 6^
заменяется на • Тогда элементы {+рР2(Л; &) матрицы
И/ (л,р) и / + р22 /в) матрицы 'НО, совпадают.
Доказательство. Согласно лемме 2.1,
^Ы,р)=Ус^у,
й.-
с —У~аС.О:... ОТ - 6; Н~2 1( Ь Л Ыч
суммируется по всем