Гиперболические произведения групп

• Автор: Панкратьев, Антон Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 115 с. : ил

Оглавление
Введение
Глава 1. Гиперболичность пространств и произведений
групп
1. Гиперболические пространства
2. Диаграммы
3. Гиперболическое произведение групп
4. Граф гиперболического произведения групп
5. Классы сопряженности периодических элементов
Глава 2. Невырожденные элементы гиперболических
произведений
6. Квазигеодезичность периодических слов
7. Элементаризаторы невырожденных элементов
8. Степени невырожденных элементов
ГлаваЗ. Факторгруппы гиперболических произведений
9. Условия малого сокращения
10. Внешние клетки диаграмм
11. Построение факторгрупп гиперболических произведений
Литература

Введение
Класс (словарно) гиперболических групп был введен М. Громовым [7] как обобщение класса фундаментальных групп компактных многообразий отрицательной кривизны. Определение оказалось очень удачным, поскольку допускало несколько эквивалентных формулировок. Исходя из комбинаторной версии определения, в частности, легко показать, что к гиперболическим группам относятся группы с условиями малого сокращения С'{ 1/6) и С/(1/4)&Т(4). Поэтому гиперболические группы немедленно вызвали живой интерес как топологов, так и специалистов в комбинаторной теории групп.
За прошедшее время опубликовано большое количество работ, посвященных доказательству ряда гипотез и развитию идей, выдвинутых М. Громовым.
Так, показано, что гиперболические группы обладают многими свойствами свободных групп, формулирующимися на языке подгрупп и гомоморфных образов. Подобно подгруппам свободных групп, подгруппы гиперболических групп либо являются почти циклическими, либо содержат

ВВЕДЕНИЕ
в качестве подгруппы свободную группу ранга 2; как (нециклические) свободные, так и (неэлементарные) гиперболические группы имеют богатую структуру нормальных подгрупп (более точно, и те, и другие являются 5<2-универсаль-ными [23]); бесконечные факторгруппы ограниченной экспоненты существуют как у свободных групп конечного ранга [18] (см. также [19]), так и у гиперболических групп [11], и т.д.
С другой стороны, понятие свободной группы обобщается конструкцией свободного произведения групп. Возникает вполне естественный вопрос о наложении на свободное произведение (точнее, на факторгруппу свободного произведения) условий гиперболичности или, другими словами, о гиперболической порождаемости группы своими подгруппами. Однако систематически этот вопрос пока не изучался, хотя, например, у Столлингса [24] можно найти красивые достаточные условия слабого взаимодействия порождающих подгрупп.
В настоящей диссертации гиперболическая порождае-мость группы своими подгруппами формализуется понятием гиперболического произведения групп, которое вводится следующим образом.
Пусть на свободное произведение конечного числа групп
Р=*Си £?, = ЩЩ, |/!<оо, (1)
наложено конечное множество дополнительных соотношений 72 = {г«,...,г,,.}. Любое слово, представляющее 1 в полученной группе
Н=Ф1К), (2)
4. ГРАФ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП
Теорема 3.9. Пусть Р = *(7* — свободное произведение конечного числа групп С?,;, г Е /. и И — конечное симметри-зованное множество слов из Я, удовлетворяющее условию С'( 1/6). Тогда группа Н = (ЯП) является гиперболическим произведением групп (7^, г Е I.
Доказательство. Для произведений с малым сокращением (т.е. в том случае, когда множество соотношений Я удовлетворяет условию <7(1/6)), имеет место утверждение, аналогичное лемме Гриндлингера ([14], теорема 9.3). А именно в любой приведенной диаграмме над Я найдется клетка, более половины контура которой принадлежит границе диаграммы. Из индуктивных соображений отсюда следует линейное изопериметрическое неравенство с константой С = 1. Теорема доказана. □
Замечание 3.10. В определении симметризованного множества слов говорится о слабой циклической приведенности, что приводит к бесконечности множества Я. В то же время в определении гиперболического произведения; групп подразумевается, что множество соотношений конечно. Поэтому в формулировке теоремы правильнее было бы писать Н = (ЯЯ), где Я — множество всех циклически приведенных слов из %. Очевидно, системы соотношений Н и 71 эквивалентны.
4. Граф гиперболического произведения групп
Граф Кэли группы. Действенным инструментом при решении проблем комбинаторной теории групп является конструкция, называемая графом Кэли группы (7 (относительно некоторой системы ее образующих Л). Вершинами