Группы с ограничениями на пространство подгрупп

• Автор: Султанов, Сергей Режепович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Рязань
• Количество страниц: 78 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
§ 1. Дискретные группы с псевдокомпактным
пространством подгрупп
§2. Полнота по Дьедонне пространства замкнутых подмножеств
§3. Полнота по Дьедонне пространства замкнутых подгрупп
§4. Вещественно полные пространства замкнутых подмножеств
§5. Дискретные группы с полным по Чеху 'пространством подгрупп
§6. Локально разрешимые группы с условием максимальности
для подгрупп
Заключение
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Развитие теории топологических групп неразрывно связано с успехами и достижениями общей теории групп. Накопленный богатый опыт в этих исследованиях в 40 - 50 годах стал интенсивно использоваться в топологической алгебре, в топологических группах появились разумные аналоги понятий и конструкций теории абстрактных групп, началось изучение пространств, связанных с топологическими группами. Характерным для этих исследований является постановка проблем, связанных с изучением топологических групп, на которые накладываются условия топологической или алгебраической природы, что определило два направления в развитии теории топологических групп - топологическое и алгебраическое [52]. Так была создана теория Силова (А.Г. Курош, В.П. Платонов), появились обобщенно нильпотентные и обобщенно разрешимые группы (В.М. Глушков, В.П. Платонов, В.И. Ушаков); В.М. Глушковым изучаются локально разрешимые группы с условием минимальности для замкнутых подгрупп; B.C. Чарин исследует топологические группы с дополняемыми подгруппами и, совместно с В.М. Полецких, группы конечного ранга.
К топологическому направлению можно отнести исследования вопросов продолжения топологий и топологических свойств топологической группы A.B. Архангельским, Б.А. Пасынковым; свободные топологические группы изучаются в работах М.И. Граева, A.B. Архангельского,
В.Г. Пестова, М.Г. Ткаченко; A.B. Архангельский, Ю.Н. Мухин и И.В. Протасов исследуют вопросы топологизации и возможности ослабления и усиления топологии в топологических группах.
К алгебраическому направлению также следует отнести исследования свойств и строения групп, на замкнутые подгруппы которых наклады-

ваются известные ограничения. Значительное место в этих исследованиях отводится изучению пространства Ь(О) замкнутых подгрупп топологической группы О с различными топологиями на нем. Существует достаточно много различных вариантов выбора топологий на ЦО) [34]. Одной из возможных топологий является топология Шаботи [5], использованная Малером при изучении решеток в евклидовом пространстве 11п. Свойства топологии Шаботи изучались в работах [40] - [42], [49], [50]
И.В. Протасова и Ю.В. Цыбенко для произвольных локально компактных групп, и И.В. Протасовым в [38] для не локально компактных групп ( [23]).
В работе [31] И.В. Протасовым, заметившим, что ЬЕ(С) является
замкнутым подпространством пространства 2° замкнутых подмножеств О с топологией Вьеториса, вводится Е-топология на пространстве Ь(С). В этой работе были исследованы локально компактные группы в с компактным пространством ЬЕ(0), и, таким образом, было положено начало широкому изучению пространства ЬЕ(С). Вопросы, касающиеся компактности и дискретности пространства ЬЕ(0), исследуются в работах [31], [8], [9] И.В. Протасова и Ю.А. Комарова; С.П. Панасюк рассматривает вопросы нормальности и метризуемости пространства ЬЕ(0) в серии работ [17]
- [19], А. Сарыев изучает в [43] периодические топологические группы с локально компактным пространством замкнутых подгрупп, кроме того, С.П. Панасюк исследует вопросы нормальности и метризуемости пространства ЬЕ.(С), близкого к пространству 1.Е(О) [23].
Полученные значительные результаты в этих исследованиях, породили интерес к рассмотрению вопросов, связанных с изучением свойств

§3. ПОЛНОТА ПО ДЬЕДОННЕ ПРОСТРАНСТВА ЗАМКНУТЫХ ПОДГРУПП.
В этом параграфе мы, используя полученные выше результаты, даем частичный ответ на вопрос о полноте по Дьедонне пространства локально компактной группы в, получаем описание локально компактной группы О с псевдокомпактным пространством ЬЕ(Сг), а также получаем
критерий полноты по Дьедонне ТЕ(0) для произвольной локально компактной группы в.
Напомним, что пространство X называется локально компактным, если каждая точка этого пространства обладает окрестностью с компактным замыканием. Для локально компактных а -компактных или нульмерных групп справедлива следующая теорема:
Теорема 3.1. Если в - локально компактная а -компактная или нульмерная группа, то пространство ЬЕ(С) полно по Дьедонне.
Доказательство. Если в - а-компактна, то пространство в - лин-делёфово. Если же группа в - нульмерная, то пространство О параком-пактно [48, с. 104, 8.13], а тогда в сильно нульмерно [54, с. 532, 6.2.9.]. Следовательно пространство 2° полно по Дьедонне в топологии Вьето-риса по теореме 2.7, а тогда Ее(0) полно по Дьедонне, как замкнутое
подпространство пространства 2(' [31, лемма 1], [54, с. 676]. Теорема доказана.
Следующее утверждение очевидно известно:
Лемма 3.2. Пусть О - локально компактная группа, Н - ст-компактный нормальный делитель группы в. Тогда, если фактор - группа в/Н - а - компактна, то группа О также является а-компактной.