Применений мартингальных методов в некоторых задачах, связанных с гауссовскими процессами

• Автор: Бутов, Александр Александрович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Долгопрудный
• Количество страниц: 95 c. : ил

ГЛАВА I. Условия эквивалентности и сингулярности гауссовских мер в терминах детерминированных характеристик мартингальных представлений канонических процессов.
§ I. Постановка задачи и формулировка основного
результата
§ 2. Доказательство теоремы
§ 3. Дополнительные результаты и примеры
ГЛАВА 2. Слабая сходимость семимартингалов к процессам диффузионного типа.
§ I. Относительная компактность мер, отвечающих семимартингалам. Условия слабой сходимости к процессам диффузионного типа. Гауссовский
случай
§ 2. Доказательство теоремы
§ 3. Применения и примеры
ГЛАВА 3. Исследование гауссовских семимартингалов в обобщенной схеме Калмана.
§ I. Связь обобщенного фильтра Калмана с проблемой
кратности один
§ 2. Доказательства теорем
§ 3. Достаточные условия оптимальной линейной
фильтрации в многомерной схеме Калмана при
’’вырождении щумаи в наблюдениях
§ 4. Линейная фильтрация семимартингалов в схеме
серий. Метод слабой сходимости ЛИТЕРАТУРА

1. Диссертационная работа посвящена исследованию ряда гауссовских объектов мартингальными методами. С помощью этих методов удается единообразно рассмотреть следующие вопросы:
I) сформулировать условия абсолютной непрерывности и сингулярности гауссовских мер, отвечающих каноническим процессам, 2) установить условия слабой сходимости семимартингалов общего вида к гауссовским процессам диффузионного типа, 3) рассмотреть процессы в обобщенной схеме Калмана (установить кратности этих процессов, необходимые и достаточные условия непрерывности порожденных ими потоков б -алгебр и, наконец, необходимые и достаточные условия существования обобщенного фильтра Калмана).
Работа состоит из трех глав.
2. В первой главе рассматриваются условия эквивалентности и сингулярности гауссовских мер, отвечающих каноническим процессам некоторой кратности п ( п 4 со) # [I] . Следует отметить, что условиям абсолютной непрерывности гауссовских мер посвящено большое количество работ (см., например, библиографию в [2] ). Достаточно полно эти условия представлены для различных классов процессов, например, в терминах характеристик гауссовских мер в гильбертовом пространстве [2,3] , в терминах характеристик спектральных разложений процессов [2,4] , в терминах гильбертова пространства с воспроизводящим ядром [5,
б] и др. В настоящей работе условия формулируются в терминах детерминированных характеристик мартингальных представлений гауссовских процессов. Близкие задачи решались в [5,7,8,9] ,
где, например, найдены условия эквивалентности распределений гауссовского процесса кратности один и винеровского процесса, гауссовского мартингала, допускающего скачки, и некоторых дру-

При этом, если в качестве использовать %.(Х*) » то есть а? с, ах? , то условие (вк) может быть переписано в виде (в):
(в) s^uf lß*l — $ 4-sXsdsl -R> о
Заметим, что в этом случае в силу непрерывности в равномерной топологии функционала ^ (X) , ^ Z О > непрерывности X , из слабой сходимости X следует совместная
слабая сходимость (Х^ и/1) (X > ос(Х)) при ю оо
В случае равномерной интегрируемости (X*)2 (например, если
F О SMP (X *1)** < оо ) будет иметь место сходимость u oi-i йТ
при л -> оо
V(X"yu«T) —>1/(ХЛ',Т).