Многошаговые стохастические игровые задачи управления

• Автор: Доманский, Виктор Константинович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 262 с. : ил.

1 Многошаговые стохастические игровые модели и последовательные интерактивные решения

2 Игровые задачи цепи Маркова

3 Повторяющиеся игры с неполной информацией

4 Стохастические игровые задачи распределения ресурсов

Глава 1. Игровые задачи остановки цепи Маркова

1 Введение к главе

1.1 Постановка задачи

1.2 Уравнения оптимальности

1.3 Обзор предшествующих работ по игровой задаче остановки

1.4 Структура главы

2 Игры с ’’почти детерминированными” переходами

2.1 Модель и уравнения оптимальности
2.2 Решения для игр с нулевыми платежами «21 (щ)
2.3 Решения для игр с положительными платежами а2{х)
2.4 Примеры
3 Рандомизированные стратегии остановки
3.1 Супергармонические и субгармонические функции
3.2 Выходная граница Мартина
3.3 Рандомизированные стратегии остановки и марковские
моменты
3.4 Задачи оптимальной остановки цепи Маркова
4 Игры остановки с ограниченными ожиданиями максимумов платежей
4.1 Игры остановки и уравнения оптимальности
4.2 Решения уравнений оптимальности как решения игр остановки
4.3 Границы для решений уравнений оптимальности
4.4 Построение решений для игр с ограниченными платежами
5 Игры с нулевыми платежами при остановке только одним игроком
5.1 Уравнения оптимальности и свойства их решений. Игры с нулевым значением
5.2 Игры с пустым останавливающим множеством В~
5.3 Игры с непустым пеостанавливающим множеством В*
5.4 Иллюстративные примеры
6 Игры с нулевым платежом при остановке только первым игроком
6.1 Уравнения оптимальности и свойства их решений
6.2 Игры с пустым пеостанавливающим множеством В+
6.3 Иллюстративный пример
Глава 2. Повторяющиеся игры с неполной информацией у второго игрока
1 Введение к главе
1.1 Постановка задачи
1.2 ’’Раскрывающиеся в пределе” игры. Игра Мертенса и Замира
1.3 Игры с сепарабельными выигрышами
1.4 Структура главы
2 Рекурсивное представление повторяющихся игр с неполной информацией у второго игрока
2.1 Формалиэированная модель
2.2 Рекурсивное представление для стратегий и выигрышей
2.3 Рекурсивное представление для значений и оптимальных стратегий
3 ’’Раскрывающиеся в пределе” игры с двумя 2x2 матрицами
3.1 Структура множества ’’раскрывающихся в пределе” игр
3.2 Некоторые формулы для биномиального распределения
3.3 Решения для игр ’’смешанного типа”
3.4 Вероятностная трактовка и асимптотика решений
3.5 Решения для игр типа ’’седловоп точки”

4 Решения для симметричных сепарабельных игр
4.1 Свойства симметричных сепарабельных игр
4.2 Некоторые формулы для мультиномиального распределения
4.3 Построение решений для симметричных сепарабельных игр
4.4 Предельное поведение решений
5 Игры с общими сепарабельными выигрышами
5.1 Свойства игр с общими сепарабельными выигрышами
5.2 Мультиномиальные транспортные задачи
5.3 ’’Каноническое” разложение допустимых планов
5.4 Рекуррентные решения для мультиномиальных транспортных задач
5.5 Решения для игр Г„(р) сепарабельными выигрышами
5.6 Пример. Игра Мертенса и Замира
6 Функции значений транспортной задачи и мультиномиальное распределение
G.1 Постановка задачи
6.2 Транспортная задача и задача двойственная к ней
6.3 Структура носителей для матриц в общем положении
6.4 Функция значений для задачи Т(С,
6.5 Функция значений для задачи Т(С,',Ь)
6.6 Иллюстративные примеры
Глава 3. Многошаговые стохастические игровые модели распределения ресурсов
1 Введение к главе 3
1.1 Постановка задачи
1.2 Структура главы и описание основных результатов
1.3 Стохастические игры с дисконтированным выигрышем
1.4 ” Абсолютные” ситуации равновесия стохастических игр . . 1S9
1.5 Игровая модель распределения ресурсов как стохастическая игра
1.6 Модели распределения ресурсов с несколькими отраслями потребления и производства
Обратно, для любой ограниченной меры и па В интеграл Jg h'(x, b)u(db) представляет собой гармоническую функцию /г„ £ L на X.
Пусть и - мера на выходной границе Мартина В, определяющая гармоническую функцию, тождественно равную единице: 1 = fB К(х, b)i/i(db) для всех х 6 Л'.
Предложение 1.3.4. Для гармонической функции h £ L Рх-п.н. существует предел limn-Kx,h(xn) = h(x00). Этот предел определяют интегрируемую функцию h £ Ll(B,uj) на выходной границе Мартина В. Гармоническая функция h равна мапгематическому ожиданию своих граничных значений
h(x) = Ех Jnn h(xn) = ЕXh(x00) — jji(b)K{x,b)vi{db).
Предложение 1.3.5. Для любых двух гармонических функций hi,hi £ L существует единственная минимальная гармоническая мажоранта hi V hi 6 L, и единственная максимальная гармоническая миноранта /гj Л/г2 € L, определяемые, соответственно, функциями hi VЛ2 € L и hiAhathi £ L на выходной границе Мартина В.
Таким образом, гармонические функции h £ L образуют решетку. Пусть функция а € L. Рассмотрим гармонические функции
й+(х) = Ех limsupa(xn),
n—foo
= Er]iminfa(x„).
4 ' П-fCO
Пусть я+(й) и а~(Ь) обозначают соответствующие функции на выходной границе Мартина. Тогда, для любого х,
limsupa(xn) = lim й+(.тп) = я+(&) Рг — п.н.,
71-fOO П—fCO
lim inf а(ж„) = lim сГ(х„) = а~(Ь) Рх — п.н.
п-fOO 4 71—fco 4 v '
3.3 Рандомизированные стратегии остановки и марковские моменты
Пусть, наблюдая последовательные состояния xn(ui) цепи Маркова, игрок должен либо остановить ее в некоторый момент, либо не останавливать вовсе. Правила остановки можно определять различными способами. Рассмотрим некоторые из них.