Энтропийные характеристики квантовых каналов и проблема аддитивности

• Автор: Широков, Максим Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 330 с. : ил.

Обозначения
0.1 Проблематика и цели работы
0.2 Содержание диссертации
0.3 Основные результаты, полученные в диссертации
0.4 Апробация работы
1 Сильная аддитивность у-пропускной способности
конечномерных квантовых каналов
1.1 Основные понятия и определения
1.2 Свойства оптимальных ансамблей для квантовых каналов с ограничениями
1.3 Свойство сильной аддитивности
у-пропускной способности
1.4 Расширение Шора
1.5 Оптимальные множества квантового канала
1.6 О наследственных множествах состояний составной
квантовой системы
1.7 Структура оптимальных множеств тензорного произведения
двух квантовых каналов

2 Вероятностные меры на множестве
квантовых состояний
2.1 Свойства вероятностных мер на множестве
квантовых состояний
2.2 Энтропийные функционалы
2.3 О выпуклых замыканиях и выпуклых расширениях полунепрерывных снизу и непрерывных функций
2.4 О сильном СЕ-свойстве выпуклых множеств
2.4.1 Об одном классе выпуклых множеств
2.4.2 О выпуклом замыкании
2.4.3 Сильное СЕ-свойство для выпуклых
д-компактных множеств
3 Квантовая энтропия и у-емкость
3.1 О свойствах квантовой энтропии
3.2 у-емкость
3.2.1 Оптимальное среднее
3.2.2 Оптимальная мера
3.2.3 Свойства у-емкости
3.3 Примеры
3.3.1 Конечные множества состояний и сходящиеся последовательности
3.3.2 Множества С(а) и АДу
3.3.3 Множество >а,с
3.3.4 Множество А® Б
3.3.5 Орбита компактной группы симметрий
3.4 Другой подход к определению С (А) и ЩА)
4 у-пропускная способность и связанные с ней характеристики бесконечномерных квантовых каналов
4.1 у-пропускная способность и выходное оптимальное среднее квантового канала с ограничением
4.2 Оптимальная мера

4.3 х-фуищия квантового канала
4.4 Выпуклое замыкание выходной энтропии квантового канала
4.5 О непрерывности функций хф и Яф
4.6 Аппроксимация квантовых каналов
4.6.1 Вводные замечания
4.6.2 Топология сильной сходимости на множестве квантовых каналов
4.6.3 Х‘ФупкЦия и выпуклое замыкание выходной энтропии как функции канала
4.6.4 Об аппроксимации Яф-оптимальной меры
4.6.5 ^-пропускная способность как функция канала
4.7 Квантовые каналы с конечной
Х-пропускной способностью
4.7.1 Общие свойства
4.7.2 О расширении квантового канала на множество всех положительных нормированных функционалов
4.7.3 Об одном классе каналов
4.8 Об определении меры сцеплеиности
5 О проблеме аддитивности для бесконечномерных квантовых каналов
5.1 Свойства аддитивности для бесконечномерных квантовых каналов
5.2 Метод конечномерной аппроксимации при исследовании
свойств аддитивности и его применение
5.2.1 Сильная аддитивность х-пропускной способности
5.2.2 Супераддитивность выпуклого замыкания выходной энтропии
5.3 Эквивалентность конечномерной и бесконечномерных
гипотез аддитивности

Следовательно,
Я(Ф, 0 ф(|0«)) = + Д'Ы“.)). (1-4.4)

#($! ® Ф(Лау)) = logdTrФд(^аУ) + S{ФяМ) + 5(фях(ыау)), (1.4.5)
где S(A) = —Tr A log А для любого положительного оператора А. Используя (1.4.4), (1.4.5) и учитывая, что ТгФß(u>) = Tr(Е ® Ijc) wav, получаем
( { ^г;1 }) = Нс1Ъ(Е ® 7^;) wav ф '^('^(Wav))
(1.4.6)
+S(4/Ei(Wav)) - Е МДМ1*)) + S(«El(u;)))• i
Используя неравенства 0 < 5(И) < Tivl(logdim'H - logTrA) для любого оператора А из *8+(Н) и //г(х) = — л log а: — (1 — х) log(l — х) < 1 для любого числа х из (0,1), нетрудно показать, что
/#({А,-,с*}) = S^Kv)) + 5(Фях(и;ау))
(1.4.7)
- Аг(5(Ф£Ц-)) + S{*Ei(ui))) < log dim К' + 1,

откуда следует (1.4.3).
Из леммы 1.3.3 с учетом (1-4.2) и (1.4.3) получаем
= (1 — 9)Хф0®ф({Ау5^у}) + ЗЛф1(8ф({Afj,Wy})
= (1 - ?)x«®*({A»,w,'}) + qlogdTt(E 0 /г) a/av + ?/#({А,-, &/,■}).
Из этого равенства и (1-4.7) следует утверждение предложения.□