Предельные теоремы для дискретных статистик

• Автор: Гаас, Валерий Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 120 с. : ил.

1 Размещения частиц двух типов
1.1 Предисловие
1.2 Постановка задачи
1.3 Многомерная Пуассоновская теорема
1.4 Сходимости статистик дГ1,г2
1.5 Свойства статистик рГиг2
1.6 Заключительные замечания
2 Распределения №-цепочек
2.1 Постановка задачи
2.2 Построение цепи Маркова
2.3 Распределение фпд
2.3.1 Построение производящей функции
2.3.2 Вывод точных распределений
2.3.3 Предельные теоремы для фад
2.3.4 Случай пр(п) —> оо
2.3.5 Случай пр(п) —> с
2.3.6 Случай пр{п) —►

2.3.7 Свойства функции F(c, t)
2.3.8 Сравнение асимптотических оценок
2.4 Предельные теоремы для фп<т при т>1
2.4.1 Индексные операторы
2.4.2 Случай пр(п) —» оо
2.4.3 Случай пр[п) —► оо для фп>2
2.4.4 Случай пр(п) —»
2.5 Заключительные замечания
Приложение 1. Таблицы
Приложение 2. Графики
Литература
Актуальность темы.
Исследование различных типов комбинаторных задач занимает весьма значимое место в проблематике теории вероятностей и математической статистики благодаря своему ярко выраженному прикладному характеру. Взаимодействие большого числа дискретных, либо условно выделяемых объектов представляет большой интерес для многих задач техники, экономики, теории чисел, программирования, криптографии.
Одной из наиболее характерных тем комбинаторной теории вероятностей является т.н. «классическая задача о дробинках» и многочисленные ее обобщения, разрабатываемые как отечественными, так и зарубежными авторами (см., например, [1], [2], [3], [4], [14], [15], [16], [24], [25], [26], [27]). Исследуемое в классической задаче независимое равновероятное размещение некоторого количества объектов, именуемых дробинками или частицами, по ячейкам имеет большое количество разного рода интерпретаций, в том числе так называемый «критерий пустых ящиков», позволяющий, в частности, проверять гипотезу о соответствии эмпирического распределения выборки заданному распределению. Критерий пустых ящиков и другие критерии, основанные на статистиках //г, считающих количества «ячеек» (иначе - «ящиков») в которые попало ровно г «частиц» (или «дробинок»), в силу простоты практического вычисления являются хорошей альтернативой критерию у2.
Важной особенностью статистик цг является простота асимптотических

ГЛАВА 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ N-ЦЕПОЧЕК
Для заданных п, т и 7 € Г„_т обозначим через е7 вектор размерности п, у которого координаты с номерами 7*, /г € {1 ш}, принимают значение 1, а все остальные - значение 0. Пусть Ап>т - множество всех таких е7,
д */ I I л ,
г п,<т -Г1тг,/с*
k То есть Лп<<т - множество двоичных векторов размера гг, в которых не более т координат имеют значение 1.
Введем случайную величину
Tn,m — rninft ^ 1 : (СгДг+ц ■.. ,£t+n—1) € Дп,<т}
- момент первого появления п-цепочки из множества Дп,<ш в последовательности £l,£2, ■ • • ) и случайный вектор

Фп,т = е7) еСЛИ £r„im-|-a—1 ~ ^ ^ I{s—'yk}' S = 1,2, ... ,71
- первый вектор ИЗ Д„,<т, ПОЯВИВШИЙСЯ В ПОСЛвДОВатеЛЬНОСТИ 4l, ^2j • • ■ •
Наша цель - доказать предельные теоремы для фп,т при п —» оо в схемах серий, когда при изменении номера серии может изменяться величина р.
Результаты настоящей главы были анонсированы в [32], [28] и опубликованы в [31].
2.2 Построение вспомогательной цепи Маркова
Пусть Q = xt- xt-i, где
xt = rain {n > 1 : £1 + £2 + p = t} , t> 1,
X0 = 0, Co = 0.