О скорости сходимости статистик критериев согласия со степенными мерами расхождения к хи-квадрат распределению

• Автор: Зубов, Василий Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 98 с.

Предисловие
На протяжении многих десятилетий критерии согласия, предназначенные для пронерки соответствия имеющихся выборочных данных заданному распределению, не теряют своей значимости в математической статистике. Выдающиеся результаты, полученные в этом направлении, связаны с именами А. Н. Колмогорова, Н. В. Смирнова, К. Пирсона. Один из подходов состоит в следующем: данные выборки группируются на основе попадания в непересекающиеся подмножества (ячейки) области возможных значений элементов выборки, с тем чтобы затем сопоставить частоты попадания в эти подмножества с теоретическими вероятностями, которые могут быть вычислены. При этом проверка соответствия выборки исходному распределению заменяется проверкой соответствия сгруппированных данных полиномиальному распределению. Несомненное достоинство такого подхода состоит в его универсальности.
Классический критерий согласия, предложенный К. Пирсоном и основанный на вышеупомянутой методологии, использует так называемую статистику %2 (см. [26]). Эта статистика имеет простой вид и удобна в применении. Вместе с тем, для получения хорошехй точности с помощью этого критерия необходимо иметь достаточно большой объем входных данных (в сумме и по отдельности в каждой ячейке). Кроме того, на практике чаще всего приходится заменять распределение статистики асимптотическим. Точность это1"х аппроксимации зависит от числа ячеек, а величина ошибки чаще всего неизвестна. Непонят-

но и то, является ли статистика у2 оптимальной на малых объемах выборки.
В связи с этим многие ученые исследовали другие подходы к построению критериев согласия с целью найти наиболее эффективный в том или ином статистическом смысле. Здесь можно упомянуть работы С. Е. Фейнберга [23], X. О. Ланкастера [42], Д. С. Мура [43], Г. С. Вотсона [53]. Неплохой сводный анализ различных альтернатив приведен в работе С. Хорна [34]. Особое место в этих исследованиях принадлежит работам Н. Крисси [20] и Т. Рида [47]. Эти авторы ввели в употребление и произвели первичный анализ семейства степенных статистик согласия, предназначенного для построения критериев согласия по сгруппированным данным с использованием степенных мер расхождения между эмпирическими частотами и теоретическими вероятностями. Семейство параметризовано вещественным параметром А, при этом как собственно статистика у2, так и часто используемые статистики являются частными случаями.
Хотя при фиксированной процедуре группировки и неизменном количестве ячеек все статистики семейства асимптотически эквивалентны (имеют одинаковое предельное хи-квадрат распределение), между ними можно провести ряд разграничений на конечных объемах выборки. Например, в работе [20] вычисляются асимптотические разложения моментов статистик семейства при справедливой основной гипотезе. Оказывается, что моменты наиболее близки к моментам хи-квадрат распределения при А = 1 и А — 2/3. Значение 1 ожидаемо, поскольку соответствует хи-квадрат критерию, однако второе значение появляется достаточно неожиданно. Также, в статье [48] показывается, что относительно симметричной основной гипотезы (равновероятное попадание в любую из ячеек) и определенным образом заданных альтернативных гипотез оптимальность в терминах мощности на малых

объемах выборки достигается при Л € [1/3,2/3], то есть хи-квадрат критерий в этой постановке не является оптимальным. В статьях [20], [48], а также в книге [21] статистика, соответствующая Л = 2/3, выделяется отдельно и рекомендуется к применению на основании проведенного в этих работах сравнительного анализа с другими членами семейства.
Таким образом, в определенных ситуациях вопрос использования альтернативных представителей семейства может быть решен положительно. При этом для практической реализации альтернативных критериев (например, при вычислении критических значений и доверительных интервалов) необходимо четко понимать, насколько хорошо статистики семейства аппроксимируются предельным хи-квадрат распределением, и как это соотносится с точностью аппроксимации для статистики х~ ■ В связи с этим актуальной является задача исследования степенных статистик согласия на предмет скорости их [слабой] сходимости к хи-квадрат распределению (при выполнении основной гипотезы и фиксированном количестве полиномиальных ячеек).
Из работ [25], [52] известны оценки скорости сходимости в частном случае статистики х2; также в работах [47], [49] (с использованием [52]) получены различные асимптотические разложения функции распределения произвольной статистики из семейства степенных статистик согласия. Тем не менее, ни одна из этих работ не позволяет построить оценки скорости сходимости произвольных степенных статистик согласия.
В настоящей работе для всех статистик семейства вне зависимости от числа ячеек группировки впервые получены оценки скорости слабой сходимости к хи-квадрат распределению, имеющие степенной порядок по объему выборки п. По порядку эти оценки соответствуют наилучшим из имеющихся оценок для статистики хи-квадрат (кро-

Доказательство. Имеем
Ті{гп(€), ї) - Ті(г(£),і) ^ |Ті(г„(<),і) -ГА(г„(і),і)|+
+ Т(гп(Д)Д) - Тл(г(<),і)і + |ГА(г(г),і) - Ті(г(і), і)І
Поскольку из формулы Тейлора следует, что Тд(г, 7) = Ті (г, £)+0 и ошибка равномерна по п из-за ограниченности множества изменения координат, мы получаем
|Ті(г„(і),і)-ТА(гп(і),і)| = О ( —^ , |Та(г(і),і)-Ті(г(«),і)| = О (
Более того, Та(гп(і),£) — с = Ті(г(£),і), и второе слагаемое может быть представлено в виде

Tx(r(t),t)-TMt),t) = o[-^). С другой стороны,

(r(t)cost)2 (r(i)sini)2 (r(i)(cosi + sin£))

cos і
-I + smA t —

4Р1 Рз/ ЧР2 Рз/ Рз
Из леммы 5 мы знаем, что первый множитель равномерно ограничен снизу (обозначим его Е, а соответствующую нижнюю границу как Тд). Имеем

E(rn(t) + r(t))y/n) (т0г(і)л/п)
rn{t) -r(t)|
Возможность последнего перехода следует из тривиальной неотрицательности rn(t) и существования равномерной нижней границы для r(t).
Лемма доказана. □